《高考数学一轮复习第9章统计与统计案例9.3变量间的相关关系与统计案例学案理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第9章统计与统计案例9.3变量间的相关关系与统计案例学案理（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.3变量间的相关关系与统计案例知识梳理1相关关系与回归方程(1)相关关系的分类正相关：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，如图1；负相关：从散点图上看，点散布在从左上角到右下角的区域内，如图2.(2)线性相关关系：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线(3)回归方程最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归方程为x，则，.其中，是回归方程的斜率，是在y轴上的截距，xi，yi
2、，(，)称为样本点的中心说明：回归直线x必过样本点的中心(，)，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据(4)样本相关系数r，用它来衡量两个变量间的线性相关关系当r0时，表明两个变量正相关；当r0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系2独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为22列联表)为22列联表y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd构造一个随机变量K2，
3、其中nabcd为样本容量(3)独立性检验利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验诊断自测1概念思辨(1)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示()(2)通过回归方程x可以估计和观测变量的取值和变化趋势()(3)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大()(4)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A3P94A组T3)某种产品的广告费用支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下的对应数据：x2456
4、8y3040605070由最小二乘法得到线性回归直线方程x，则此直线一定经过点()A(5,60) B(5,50) C(6,50) D(8,70)答案B解析回归直线样本点的中心为(，)，而(24568)5，(3040605070)50，所以回归直线一定经过点(5,50)故选B.(2)(选修A12P96T2)通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看生产日期，得到如下列联表：女男总计读生产日期162844不读生产日期20828总计363672则有_的把握认为性别与是否读生产日期有关答案99.5%解析由表中数据得k8.4167.879，所以可知有99.5%的把握认为性别与是否读生产日期有关
5、3小题热身(1)设回归方程为35x，则变量x增加一个单位时 ()Ay平均增加3个单位 By平均减少5个单位Cy平均增加5个单位 Dy平均减少3个单位答案B解析因为5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位，y平均减少5个单位故选B.(2)(2018西安模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程0.67x54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为_答案68解析由30，得0.673054.975.设表中的“模糊数字”为a，则62
6、a758189755，a68.题型1相关关系的判断对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i1,2，10)，得散点图；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i1,2，10)，得散点图，由这两个散点图可以判断()A变量x与y正相关，u与v正相关B变量x与y正相关，u与v负相关C变量x与y负相关，u与v正相关D变量x与y负相关，u与v负相关散点分布向右上升为正相关，反之为负相关答案C解析题图的散点分布在斜率小于0的直线附近，y随x的增大而减小，故变量x与y负相关；题图的散点分布在斜率大于0的直线附近，u随v的增大而增大，故变量u与v正相关，故选C.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性
7、做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性()A甲 B乙 C丙 D丁考查r的取值与1的关系答案D解析在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了A，B两个变量有更强的线性相关性，故选D.方法技巧判定两个变量正、负相关性的方法1画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负
8、相关见典例1.2相关系数：r0时，正相关；r0时，正相关；0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元将2015年的年份代号t9代入(1)中的回归方程，得0.592.36.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元角度2非线性回归模型的应用(2015全国卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值表中wi，wi.(1)根据散点图判断，yabx与yc
9、d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为， .(1)散点图趋势是曲线，推断ycd适宜；(2)将非线性回归方程ycd用换元法w转化为线性回归方程ycdw，进而求解解(1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销
10、售量y关于年宣传费x的回归方程类型(2)令w，先建立y关于w的线性回归方程由于68，563686.8100.6，所以y关于w的线性回归方程为100.668w，因此y关于x的回归方程为100.668.(3)由(2)知，当x49时，年销售量y的预报值100.668576.6，年利润z的预报值576.60.24966.32.根据(2)的结果知，年利润z的预报值0.2(100.668)xx13.620.12.所以当6.8，即x46.24时，取得最大值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大方法技巧1利用线性回归方程时的关注点(1)正确理解计算，的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归
11、直线方程x必过样本点中心(，)(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测见角度1典例2非线性回归方程的求法(1)根据原始数据(x，y)作出散点图(2)根据散点图选择恰当的拟合函数(3)作恰当的变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程(4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程见角度2典例冲关针对训练(2016全国卷)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据：yi9.32，tiyi40.17, 0.55，2.646.参考公式：相关系数r，回归方程t中斜率和截距的最小二乘估计公式
