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1、期末复习(一)直角三角形各个击破命题点1直角三角形的性质与判定【例1】在RtABC中,BAC90,ADBC于点D.(1)如图1,若C30,求证:BDBC;(2)如图2,若C45,写出点D到ABC的三个顶点A,B,C的距离的关系;(3)在(2)的基础上,如果点M,N分别在线段AB,AC上移动,在移动过程中保持ANBM,请判断DMN的形状,请证明你的结论【思路点拨】(1)先由同角的余角相等可以得到BADC30,再根据直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半,可以在RtABD和RtABC中分别找出BD与AB,AB与BC的关系,从而得出BD与BC的数量关系;(2)根据C45,BAC90,可得ABC
2、是等腰直角三角形又ADBC,由等腰三角形三线合一的性质可知,D为直角三角形斜边的中点再由直角三角形斜边中线的性质,即可求出AD,BD,DC之间的关系;(3)先由题目所给的条件证明BDMADN,从而得到MDDN及BDMADN,进而可得MDNADB90.【解答】(1)证明:BAC90,ADBC,BC90,BBAD90.BADC30.在RtABD中,BDAB,在RtABC中,ABBC.BDBC.(2)C45,BAC90,ABC是等腰直角三角形ADBC,D为BC的中点ADBDCD.(3)DMN是等腰直角三角形证明:BMAN,BDAN45,BDAD,BDMADN(SAS)MDND,BDMADN.MDNA
3、DB90.MDN是等腰直角三角形【方法归纳】(1)由直角三角形斜边中线的性质可得到两条线段之间的数量关系;(2)由角来判断一个三角形是直角三角形,只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可1如图,ABC中,CDAB于D,且E是AC的中点若AD6,DE5,则CD的长等于(D)A5 B6 C7 D82一个三角形的三个角的度数之比是336,则这个三角形是等腰直角三角形3在ABC中,ABAC,A120,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E.如果DE1,求BC的长解:连接AD.DE垂直平分AB,ADBD,DEB90.ABAC,BAC120,BC30.在RtBDE中,B30,DEBD.BD2.
4、ADBD,BADB.DACBACBAD1203090.又C30,ADCD.CD2AD2BD4.BCCDBD426.命题点2勾股定理及其逆定理【例2】如图,四边形ABCD,ABAD2,BC3,CD1,A90,求ADC的度数【思路点拨】首先在RtBAD中,利用勾股定理求出BD的长,而由题意可知,ABD为等腰直角三角形,则ADB45,再根据勾股定理逆定理,证明BCD是直角三角形,即可求出答案【解答】连接BD.在RtBAD中,ABAD2,ADB45,BD2.在BCD中,DB2CD2(2)2129CB2,BCD是直角三角形BDC90.ADCADBBDC4590135.【方法归纳】当不能直接求一个角的度数
5、时,可通过作辅助线,求几个角的和或差4已知三组数据:2,3,4;3,4,5;1,2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长,构成直角三角形的有(D)A B C D5如果三角形有一条边上的中线长恰好等于这条边的长,那么称这个三角形是“有趣三角形”,这条中线为“有趣中线”如图,在ABC中,C90,较短的一条直角边BC,且ABC是“有趣三角形”,求ABC的“有趣中线”的长解:“有趣中线”有三种情况:若“有趣中线”为斜边AB上的中线,直角三角形的斜边的中线等于斜边长的一半,不合题意;若“有趣中线”为BC边上的中线,根据斜边大于直角边,矛盾,不成立;若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线BD,如图所示
6、,BC,设BD2x,则CDx.在RtCBD中,根据勾股定理,得BD2BC2CD2,即(2x)2()2x2,解得x1.则ABC的“有趣中线”的长等于2.命题点3直角三角形全等的判定【例3】如图,已知ABBD,CDBD,ADCB,求证:ADBC.【思路点拨】要证ADBC,可证ADBCBD,这由RtADBRtCBD(HL)可以得到【解答】ABBD,CDBD,ABDCDB90.在RtADB和RtCBD中,ADCB,BDDB,RtADBRtCBD(HL)ADBCBD.ADBC.【方法归纳】用HL证明三角形全等时,需指明直角三角形6如图,已知ABAD,ABCADC90,EF过点C,BEEF于E,DFEF于
7、F,BEDF.求证:RtBCERtDCF.证明:连接AC.在RtABC中和RtADC中,RtABCRtADC(HL)BCDC.BEEF,DFEF,EF90.在RtBCE和RtDCF中,RtBCERtDCF(HL)命题点4角平分线的性质与判定【例4】如图,在ABC中,ABC的平分线与ACB的外角的平分线交于P点,PDAC于D,PHBA于H,求证:AP平分HAD.【思路点拨】过P作PFBE于F,根据角平分线的性质可得PHPF,PFPD,有PDPH,再根据角平分线的判定可得结论【解答】过P作PFBE于F.BP平分ABC,PHBA,PFBE,PHPF.CP平分ACE,PDAC,PFBE,PFPD.PD
8、PH.又PHBA,PDAC,AP平分HAD.【方法归纳】此题主要考查角平分线定理及逆定理;准确作出辅助线是解答本题的关键,解决与角平分线有关的问题常常用到作垂线之类的辅助线7如图,OC是AOB的平分线,P是OC上一点,PDOA于点D,PEOB于点E,若点Q是OC上与点O,P不重合的另一点,则以下结论中,不一定成立的是(D)APDPEBOCDE且OC平分DECQO平分DQEDDEQ是等边三角形8(株洲中考)如图,在RtABC中,C90,BD是ABC的一条角平分线点O,E,F分别在BD,BC,AC上,且四边形OECF是正方形(1)求证:点O在BAC的平分线上;(2)若AC5,BC12,求OE的长解
9、:(1)证明:过点O作OMAB于点M.四边形OECF是正方形,OEOF,OEBC,OFAC.BD是ABC的平分线,OEOM.OFOM.又OMAB,OFAC,AO是BAC的平分线,即点O在BAC的平分线上(2)连接OC.在RtABC中,AC5,BC12,AB13,SABCBCAC12530.SABCSAOBSBOCSAOCABOMBCOEACOF,又OMOEOF,SABCOE(ABBCAC)30,即OE3030.解得OE2.整合集训一、选择题(每小题3分,共30分)1如图,l1l2,l3l4,142,那么2的度数为(A)A48B42C38D212在RtABC中,C90,B30,AC5 cm,则斜
10、边AB上的中线是(A)A5 cm B15 cm C10 cm D2.5 cm3下列说法:如果ABC,那么ABC是直角三角形;如果ABC123,那么ABC是直角三角形;如果三角形的三边长分别为4,4,6,那么这个三角形不是直角三角形;有一个角是直角的三角形是直角三角形其中正确的有(D)A1个 B2个 C3个 D4个4如图,为了测得湖两岸A点和B点之间的距离,一个观测者在C点设桩,使ABC90,并测得AC长20米,BC长16米,则A点和B点之间的距离为(B)A25米 B12米 C13米 D4米5如图,在ABC中,C90,AP是角平分线,AP10,CP5,则B的度数是(B)A45 B30 C60 D
11、156(杭州中考)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(mn),过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形,若这两个三角形都为等腰三角形,则(C)Am22mnn20 Bm22mnn20Cm22mnn20 Dm22mnn207如图,ADBC,CD90,下列结论中不成立的是(C)ADAECBEBCEDECDAE与CBE不一定全等D128如图,ABC中,ACB90,AEAC8,BFBC15,则EF长为(D)A3 B4 C5 D69如图,已知点P是AOB角平分线上的一点,AOB60,PDOA,M是OP的中点,DM4 cm,如果点C是OB上一个动点,则PC的最小值为(C)A2 B2 C4 D410如图所示
12、的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7 cm,则所有正方形的面积的和是(D)A28 B49 C98 D147二、填空题(每小题4分,共24分)11如图,ABC中,ADBC于D,要使ABDACD,若根据“HL”判定,还需加条件ABAC(答案不唯一)12如图,在RtABC中,ACB90,AC3,AB6,点D是AB的中点,则ACD6013如图,在RtABC中,A90,BD平分ABC交AC于点D,SBDC4,BC8,则AD114在RtABC中,C90,A30,AB上的中线CD的长2 cm,那么AC2cm.15如图,在RtABC中,B90,AB3,BC4,将ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B重合,AE为折痕,则EB16(南昌中考)如图,在ABC中,ABBC4,AOBO,P是射线CO上的一个动点,AOC60,则当PAB为直角三角形时,AP的长为2或2或2三、解答题(共46分)17(10分)已知:如图,RtABC和RtADC中,ABCADC90,点E是AC的中点求证:EBDEDB.证明:ABC90,且点E是AC的中点,EBAC.同理: