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1、期末复习(一)直角三角形各个击破命题点1直角三角形的性质与判定【例1】在RtABC中，BAC90，ADBC于点D.(1)如图1，若C30，求证：BDBC；(2)如图2，若C45，写出点D到ABC的三个顶点A，B，C的距离的关系；(3)在(2)的基础上，如果点M，N分别在线段AB，AC上移动，在移动过程中保持ANBM，请判断DMN的形状，请证明你的结论【思路点拨】(1)先由同角的余角相等可以得到BADC30，再根据直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半，可以在RtABD和RtABC中分别找出BD与AB，AB与BC的关系，从而得出BD与BC的数量关系；(2)根据C45，BAC90，可得ABC
2、是等腰直角三角形又ADBC，由等腰三角形三线合一的性质可知，D为直角三角形斜边的中点再由直角三角形斜边中线的性质，即可求出AD，BD，DC之间的关系；(3)先由题目所给的条件证明BDMADN，从而得到MDDN及BDMADN，进而可得MDNADB90.【解答】(1)证明：BAC90，ADBC，BC90，BBAD90.BADC30.在RtABD中，BDAB，在RtABC中，ABBC.BDBC.(2)C45，BAC90，ABC是等腰直角三角形ADBC，D为BC的中点ADBDCD.(3)DMN是等腰直角三角形证明：BMAN，BDAN45，BDAD，BDMADN(SAS)MDND，BDMADN.MDNA
3、DB90.MDN是等腰直角三角形【方法归纳】(1)由直角三角形斜边中线的性质可得到两条线段之间的数量关系；(2)由角来判断一个三角形是直角三角形，只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可1如图，ABC中，CDAB于D，且E是AC的中点若AD6，DE5，则CD的长等于(D)A5 B6 C7 D82一个三角形的三个角的度数之比是336，则这个三角形是等腰直角三角形3在ABC中，ABAC，A120，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.如果DE1，求BC的长解：连接AD.DE垂直平分AB，ADBD，DEB90.ABAC，BAC120，BC30.在RtBDE中，B30，DEBD.BD2.
4、ADBD，BADB.DACBACBAD1203090.又C30，ADCD.CD2AD2BD4.BCCDBD426.命题点2勾股定理及其逆定理【例2】如图，四边形ABCD，ABAD2，BC3，CD1，A90，求ADC的度数【思路点拨】首先在RtBAD中，利用勾股定理求出BD的长，而由题意可知，ABD为等腰直角三角形，则ADB45，再根据勾股定理逆定理，证明BCD是直角三角形，即可求出答案【解答】连接BD.在RtBAD中，ABAD2，ADB45，BD2.在BCD中，DB2CD2(2)2129CB2，BCD是直角三角形BDC90.ADCADBBDC4590135.【方法归纳】当不能直接求一个角的度数
5、时，可通过作辅助线，求几个角的和或差4已知三组数据：2，3，4；3，4，5；1，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有(D)A B C D5如果三角形有一条边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”如图，在ABC中，C90，较短的一条直角边BC，且ABC是“有趣三角形”，求ABC的“有趣中线”的长解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边长的一半，不合题意；若“有趣中线”为BC边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线BD，如图所示
6、，BC，设BD2x，则CDx.在RtCBD中，根据勾股定理，得BD2BC2CD2，即(2x)2()2x2，解得x1.则ABC的“有趣中线”的长等于2.命题点3直角三角形全等的判定【例3】如图，已知ABBD，CDBD，ADCB，求证：ADBC.【思路点拨】要证ADBC，可证ADBCBD，这由RtADBRtCBD(HL)可以得到【解答】ABBD，CDBD，ABDCDB90.在RtADB和RtCBD中，ADCB，BDDB，RtADBRtCBD(HL)ADBCBD.ADBC.【方法归纳】用HL证明三角形全等时，需指明直角三角形6如图，已知ABAD，ABCADC90，EF过点C，BEEF于E，DFEF于
7、F，BEDF.求证：RtBCERtDCF.证明：连接AC.在RtABC中和RtADC中，RtABCRtADC(HL)BCDC.BEEF，DFEF，EF90.在RtBCE和RtDCF中，RtBCERtDCF(HL)命题点4角平分线的性质与判定【例4】如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角的平分线交于P点，PDAC于D，PHBA于H，求证：AP平分HAD.【思路点拨】过P作PFBE于F，根据角平分线的性质可得PHPF，PFPD，有PDPH，再根据角平分线的判定可得结论【解答】过P作PFBE于F.BP平分ABC，PHBA，PFBE，PHPF.CP平分ACE，PDAC，PFBE，PFPD.PD
8、PH.又PHBA，PDAC，AP平分HAD.【方法归纳】此题主要考查角平分线定理及逆定理；准确作出辅助线是解答本题的关键，解决与角平分线有关的问题常常用到作垂线之类的辅助线7如图，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA于点D，PEOB于点E，若点Q是OC上与点O，P不重合的另一点，则以下结论中，不一定成立的是(D)APDPEBOCDE且OC平分DECQO平分DQEDDEQ是等边三角形8(株洲中考)如图，在RtABC中，C90，BD是ABC的一条角平分线点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形(1)求证：点O在BAC的平分线上；(2)若AC5，BC12，求OE的长解
9、：(1)证明：过点O作OMAB于点M.四边形OECF是正方形，OEOF，OEBC，OFAC.BD是ABC的平分线，OEOM.OFOM.又OMAB，OFAC，AO是BAC的平分线，即点O在BAC的平分线上(2)连接OC.在RtABC中，AC5，BC12，AB13，SABCBCAC12530.SABCSAOBSBOCSAOCABOMBCOEACOF，又OMOEOF，SABCOE(ABBCAC)30，即OE3030.解得OE2.整合集训一、选择题(每小题3分，共30分)1如图，l1l2，l3l4，142，那么2的度数为(A)A48B42C38D212在RtABC中，C90，B30，AC5 cm，则斜
10、边AB上的中线是(A)A5 cm B15 cm C10 cm D2.5 cm3下列说法：如果ABC，那么ABC是直角三角形；如果ABC123，那么ABC是直角三角形；如果三角形的三边长分别为4，4，6，那么这个三角形不是直角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形其中正确的有(D)A1个 B2个 C3个 D4个4如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使ABC90，并测得AC长20米，BC长16米，则A点和B点之间的距离为(B)A25米 B12米 C13米 D4米5如图，在ABC中，C90，AP是角平分线，AP10，CP5，则B的度数是(B)A45 B30 C60 D
11、156(杭州中考)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(mn)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则(C)Am22mnn20 Bm22mnn20Cm22mnn20 Dm22mnn207如图，ADBC，CD90，下列结论中不成立的是(C)ADAECBEBCEDECDAE与CBE不一定全等D128如图，ABC中，ACB90，AEAC8，BFBC15，则EF长为(D)A3 B4 C5 D69如图，已知点P是AOB角平分线上的一点，AOB60，PDOA，M是OP的中点，DM4 cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为(C)A2 B2 C4 D410如图所示
12、的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则所有正方形的面积的和是(D)A28 B49 C98 D147二、填空题(每小题4分，共24分)11如图，ABC中，ADBC于D，要使ABDACD，若根据“HL”判定，还需加条件ABAC(答案不唯一)12如图，在RtABC中，ACB90，AC3，AB6，点D是AB的中点，则ACD6013如图，在RtABC中，A90，BD平分ABC交AC于点D，SBDC4，BC8，则AD114在RtABC中，C90，A30，AB上的中线CD的长2 cm，那么AC2cm.15如图，在RtABC中，B90，AB3，BC4，将ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B重合，AE为折痕，则EB16(南昌中考)如图，在ABC中，ABBC4，AOBO，P是射线CO上的一个动点，AOC60，则当PAB为直角三角形时，AP的长为2或2或2三、解答题(共46分)17(10分)已知：如图，RtABC和RtADC中，ABCADC90，点E是AC的中点求证：EBDEDB.证明：ABC90，且点E是AC的中点，EBAC.同理：
