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1、目录第一讲 数的整除问题2第二讲 质数、合数和分解质因数8第三讲 最大公约数和最小公倍数12第四讲 带余数的除法17第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用20第六讲 能被30以下质数整除的数的特征28第七讲 行程问题34第八讲 流水行船问题41第九讲 “牛吃草”问题45第十讲 列方程解应用题49第十一讲 简单的抽屉原理56第十二讲 抽屉原理的一般表述60第十三讲 染色中的抽屉原理66第十四讲 面积计算69第十五讲 综合题选讲78第一讲 数的整除问题数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。一、基本概念和知识1.整除约数和倍数例如：153=5，63
2、7=9一般地，如a、b、c为整数，b0，且ab=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作ba.,否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。即：如果ca，cb，那么c（ab）。例如：如果210，26，那么2（106），并且2（106）。性质2：如果b与c的积能整除a，
3、那么b与c都能整除a.即：如果bca，那么ba，ca。性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。即：如果ba，ca，且（b，c）=1，那么bca。例如：如果228，728，且（2，7）=1,那么（27）28。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果cb，ba，那么ca。例如：如果39，927，那么327。3.数的整除特征能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。能被5整除的数
4、的特征：个位是0或5。能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。例如：1864=180064，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为464，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。例如：2937529000375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。能被11整除的数的特征：这个整
5、数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是97531=25，偶数位上的数字之和是864220.因为25205，又因为115，所以。再例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（451）-（73）0.因为0是任何整数的倍数，所以110.因此13574是11的倍数。能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把10592
6、82分为1059和282两个数.因为1059-282777，又7777，所以71059282.因此1059282是7的倍数。再例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为8212819，又13819，所以132821，进而133546725. 二、例题解：45=59，根据整除“性质2”可知 y可取0或5。满足条件的六位数是519930或919935。例2 李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元.已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？解：9.2元=92分2847，
7、根据整除“性质2”可知4和7均能整除92。42可知处能填0或4或8。因为79020，79424，所以处不能填0和4；因为79828，所叫处应该填8。又9828分元28（元）答：每支钢笔元。个条件的整数。根据能被11整除的数的特征可知：1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数，即11（155a）.或11（5a15）。但是155a=5（3a），5a15=5（a3），又（5，11）=1，因此111（3a）或11（a3）。又a是数位上的数字。a只能取09。所以只有a=3才能满足11（3a）或11（a3），即当a=3时，11155a。符合题意的整数只有1323334353。互不相同），且它能被11
8、整除，你能找到一个符合条件的整数吗？解：91=713，且（7，13）1。根据一个数能被7或13整除的特征可知：因为（7，10）=1，（13，10）1，所以7，13也就是7，13，因此，用一次性质（特征），就去掉了两组；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除，当且仅当能被7以及13整除又91的倍数中小于1000的只有914=364的百位数字是3，=364例5 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。5整除，所以它应满足以下三个条件：第一，数字和（8+65+a+b+c）是3的倍数。第三，末位数字c是0或5。又能被4整除的数的个
9、位数不可能是5。c只能取O.因而b只能取自O，2，4，6，8中之一。 ab除以3余2。为满足题意“数值尽可能小”，只需取a=0，b=2。要求的六位数是865020。分析 26=213，y可能取0、2、4、5、6、8。当y0时，713x+9x+136根据整除“性质1”，有139x+6，经试验可知只有当x8时，139x6，当y=0时，符合题意的六位数是819910。所以13整除9x62，即139x+4。经试验可知只有当x1时，139x+4。当y2时，符合题意的六位数是119912。同理，当y4时，139x6-4，即139x+2，经试验可知当x7时，139x+2。当y=4时，符合题意的六位数是719
10、914。同理，当y6时，139x66。即139x.当y=6时，找不到符合题意的六位数。同理，当y8时，139x+6-8，即139x-2。经试验只有当x6时，139x-2。当y=8时，符合题意的六位数是619918。答：满足本题条件的六位数共有819910、119912、719914和619918四个。习题一样的五位数。4.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问：这个数能否被3整除？5.一本陈年老账上记着：72只桶，共元.这里处字迹已不清.请把处数字补上，并求桶的单价。6.证明：任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定能同时被7、11、1
11、3整除. 习题一解答1.39312。2.8。3.32250、32550、32850。4.解：1239=45，345，又1993除以9余4，这个1993位数的最末4位数字是1234。1+2+3+4=10，310，这个1993位数不能被3整除。5.为3、2共元，每只桶元。 所以，这个六位数一定能同时被7、11、13整除. 第二讲 质数、合数和分解质因数一、基本概念和知识1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：1不是质数，也不是合数。2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个
12、质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：把30分解质因数。解：30235。其中2、3、5叫做30的质因数。又如12223223，2、3都叫做12的质因数。 二、例题例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.解：210=2357可知这三个数是5、6和7。例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=1129=3+37。17233911129319337111。所求的最大值是391。答：这两个质数的最大乘积是391。例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：1
13、23456789是合数。因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：19中有4个质数2、3、5、7）。如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。解：5=5，7=7，6=23，1427，15=35，这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=27）放在第一组，那么7和6（=23）只能放在第二组，继而15（35）只能放在第一组，则5必须放在第二组
