《高中数学讲义微专题47多变量表达式范围——放缩消元法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学讲义微专题47多变量表达式范围——放缩消元法（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、多变量表达式的范围一一放缩消元法、基础知识:在有些多变量表达式的题目中，所提供的条件为不等关系，则也可根据不等关系进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得最值1、放缩法求最值的理论基础：不等式的传递性：若 f (x, y卢g( x), g( x)之m ,则f(x, y)2m2、常见的放缩消元手段：(1)抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消 元(2)配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0,达到消元的效果(3)均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果(4)主元法：将多元表达
2、式视为某个变量(即主元)的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。3、放缩消元过程中要注意的地方：(1)在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“之”；若求最大值，则对应的不等号为“放缩的方向应与不等号的方向一致(2)对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值。放缩法求最值的基础是不等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。若将关于x, y的表达式f(x,y)进行放缩消去y ,得到g(x ),例如f(x,y)2g(x),则下一步需要求出 g(x)的最小值(记 为m),即f (x,y )至g
3、(x )至m,通过不等式的传递性即可得到f(x,y)至m。同理，若放缩后得到：f (x,y )Eg(x )，则需要求出g(x)的最大值(记为M ),即f (x,y)Eg(x)E M , 然后通过不等式的传递性得到f x,y 2J3 a =2屿，所以 3+b 的最小值 m=2，3,从而 M m = 5 2 a a aa答案：5-2.3- c _c b,一 八一例2：已知A,B,C是任意三点，BC = a,CA = b,AB=c，则y = +上的最小值是 a b c思路：因为a Mb+c,所以结合不等号的方向可将a消去，从而转化为关于 b,c的表达式：b-一c一 +b =一 +b ,然后可从b出发
4、，构造出与第一项互为倒数的性质a b c bc b c 2b c cc以便于利用均值不等式解出最值：b=,生二1，型土_工，从而有：c 2 c 2 c 2c 1 2b c 1- 1c b l 1+ ，2 -2b c 2 c 22a b c 2答案：、2-12例3：设实数a,b,c满足a2 +b2 c 1 ,则a + b+c的最大值为 所以a2 b22 c，思路：由a+b+c可联想到（a+b）与a2+b2的关系，即a + b M 2 Jagb-，2.2.然后可利用a +b c进一步放缩消元，a2 b2,-一+cwJ2c + c,在利用cM1即可得到最大值：J2c + cwJ2+1,所以a +b
5、+c的最大值为 J2 +1,其中等号成立条件为:a = b a2 + b2 = c;c = 1答案：2 122a = rcos ,22小炼有话说：本题也可从a +b入手，进行三角换元：i，由a +b Ec可得b = rsin?r 4c,然后根据不等号的方向进行连续放缩，消去 仇r,c即可得到最值：f Ha b c = r cos ? r sin c = . 2r sin 二 c _ , 2 r c _ , 2c c _ . 2 1 ,4例4 :已知关于X的一元二次不等式2ax +bx + c之0在实数集上恒成立，且 a b ,则T = a +b+c的最小值为（）b - aA. 0B.1C.2
6、D. 3思路：由不等式恒成立可得：A=b2-4acE0,结合所求表达式和不等号方向可知更易于消去c,一b2即c之，所以T4aab b1 2 *4ab - a2. 24a 7 4ab b4a一J ,对于该其次分式可两边同时除以4ab- 4a2_2a ，b21 a可得：T _ 441 b 4a人 b,令t = 一由a 12 ,从而 T 之一y 之 3t -14答案：D小炼有话说：本题的关键之处在于选择消去的元,如果选择a,b,则因分式中含a,b的项较多,消元会比较复杂，不利于求得最值。所以处理多变量表达式的最值时，选择消去合适的元是 关键减少变量个数，观察式子可发现存在完全平方式，即a221 Z例
7、6：已知正数x, y,z满足x +y +z =1,则$ =的最小值是 2xyz思路：所求表达式涉及 3个变量，首先确定主元，通过观察可发现分母中的2xy可与条件中的x2 +y2具备不等关系，而x2 + y2 =1 - z2可用z表示，且不等号的方向与所求一致，故考虑利用不等式进行放缩消元，进而得到关于z的表达式求得最值解：x2 +y2+z2=1=x2+y2=1 z2,因为 2xyM x2+ y2 10ac + 25c2 =( a - 5c )2 0 ,从而消去了 c,得2a2+2+1-10ac+25c2 a2+一1一，然后根据分母特征:abaa-bab a a - b2211211ab,a(a
8、b)=a ab构造 a +十=(a ab+ab+ +,由均值abaa-bab a a - b11c11不等式彳导:(a -ab )+ab + +之44i(a 一ab ) ab =4 ,驯证等ab a a -bab a a - ba 二 ,、2号成立条件:a = 5ca2 .ab=ab= ab1 二 a2 - abJ2Jb=,从而最小值为2叵c =L 5答案：Dc 11小炼有话说本题在处理a2 +十的最值时还可以从分式入手：ab a a -b11a-b，b1+一1一 = a b b =一1一 ，从而对 分母利 用均值不等式ab a a -b ab a -b b a。b一fb +a b ia2、,
9、4+汇州 211、 2 工 4、,b(a -b I I =消去 b ,所以 a +十2 a 4一 ，1所以有-11 -z224ab a a - b as = -2= ：=22xyz 1 -z z 1 -z 1 z z z-z1 z4-412(等号成立条件:1z =2 x = y2 .x+yz2 =1、. 64恒)41则2x2+y +3z2的最大值是例 7：设 x,y, z20,且 x + y+z=2,思路：本题虽然有 3个变量，但可通过x + y + z = 2进行消元，观察所求式子项的次数可知消去y更方便，从而可得 2x2 + y +3z2 =2x2 x +3z2 z + 2。然后可使用“主
10、元法”进 行处理，将x视为主元，即f (x )=2x2-x + 3z2-z + 2但本题要注意x的取值范围与z相 关，即x w 92 - z,通过配方(或求导)可知f (x)的最大值在边界处取得，即 f (x)max =maxf3z2 z + 2,5z2 8z+8, zwb,2，从而达到消去 x的效果，再求出 g(z ) = max(3z2 z+2,5z2 8z+8)中的最大值即可解：x y z = 2. y=2-x-z_ 2_2_2_2_2x y 3z =2x - x 3z -z 2设 f x = 2x2 - x 3z2 - z 2x, y,z _0 ! x - 0y=2-x-z x2-z0
11、 MxM2 z1 一,f x =4x -11 :x =1为f (x )的极小值点- f xmax一2一222f 0 =3z2-z 2, f 2-z =22-z 3z2 =5z2 -8z 8二 f (x)max =max3z2 z + 2,5z2 8z +8其中 zw 0,2设 g z = maxl3z2 -z 2,5z2 -8z 8;3右3z -z 2 :5z -8z 8二一23z2 z + 2,zw |3,2 1g z 二一5z2 -8z 8, z0,1可得：g z max=g 2 =122x2 y 3z2 = 2x2 - x 3z2 - z2 _ maxl3z2-z 2,5z2 -8z 8
12、? g 2 =12例 8：已知函数 f (x )= f(1 )ex,f (0)x+：x2(1)求f (x )的解析式及单调区间1 )(2)右不等式f(x)A1x +ax + b恒成立，求(a+1)b的取大值 解：(1) f(x)=f(1)ex-1 f (0)+x,代入 x = 1可得：f 1 = f 1 - f 01= f 0 =1 x二12八f 1f (x)=f (1 )ex x+ x2,令 x=0 可得：f(0) = f(1)=e 2ef x : ex -x 1x22f (x )=ex +x -1,可知 f 0 =0, f (x而R上单调递增J.xW(3,0)时，f(x)0f (x )在(
13、血,0 )单调递减，在(0,收)单调递增1cle.(2)恒成立的不等式为：e x十一 x* x+ax + b即e -x-ax-b022设 g x = ex -x -ax -bg x - 0 ming(x) = ex(a+1),令 g(x)0,即解不等式 ex Aa +1若a+1 0 ,可解得x aln(a+1)g(x )在(-o,ln (a+1 )单调递减，在(ln(a + 1 ),收)单调递增g x min = g |ln a 1 = a 1 - ln a 1)aln a 1)- b _ 0b a 1 - -.a 1 In a 122a 1 b a 1 ia 1 In a 122下面求(a +1) -(a +1) ln(a +1 )的最大值21
