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1、 1 1限时规范训练六导数的简单应用限时45分钟,实际用时_分值81分,实际得分_一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分)1设函数f(x)aln x,若f(2)3,则实数a的值为()A4B4C2 D2解析:选B.f(x),故f(2)3,因此a4.2曲线yex在点A处的切线与直线xy30平行,则点A的坐标为()A(1,e1) B(0,1)C(1,e) D(0,2)解析:选B.设A(x0,e),yex,y|xx0e.由导数的几何意义可知切线的斜率ke.由切线与直线xy30平行可得切线的斜率k1.e1,x00,A(0,1)故选B.3若函数f(x)x32cx2x有极值点,则实数c的取值范围为
2、()A.B.C.D.解析:选D.若函数f(x)x32cx2x有极值点,则f(x)3x24cx10有两根,故(4c)2120,从而c或c.4已知f(x)aln xx2(a0),若对任意两个不等的正实数x1,x2都有2恒成立,则实数a的取值范围是()A1,) B(1,)C(0,1) D(0,1解析:选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2,所以函数的导数f(x)x2.可得x时,f(x)有最小值2.a1.5若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1,其导函数f(x)满足f(x)k1,则下列结论中一定错误的是()Af BfCf Df解析:选C.构造函数g(x)f(x)kx1,则g(x)f(
3、x)k0,g(x)在R上为增函数k1,0,则gg(0)而g(0)f(0)10,gf10,即f1,所以选项C错误,故选C.6函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)f(2x),且当x(,1)时,(x1)f(x)0,设af(0),bf,cf(3),则()Aabc BcbaCcab Dbca解析:选C.因为当x(,1)时,(x1)f(x)0,所以f(x)0,所以函数f(x)在(,1)上是单调递增函数,所以af(0)fb,又f(x)f(2x),所以cf(3)f(1),所以cf(1)f(0)a,所以cab,故选C.二、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)7(20xx高考全国卷)曲线yx2在点(1
4、,2)处的切线方程为_解析:y2x,y|x11,即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k1,切线方程为y2x1,即xy10.答案:xy108已知函数f(x)x23x4ln x在(t,t1)上不单调,则实数t的取值范围是_解析:由题意得,f(x)的定义域为(0,),t0,f(x)x30在(t,t1)上有解,0在(t,t1)上有解,x23x40在(t,t1)上有解,由x23x40得x1或x4(舍去),1(t,t1),t(0,1),故实数t的取值范围是(0,1)答案:(0,1)9已知函数f(x)ln x,若函数f(x)在1,)上为增函数,则正实数a的取值范围为_解析:f(x)ln x,f(x)(a0)函
5、数f(x)在1,)上为增函数,f(x)0在x1,)上恒成立,ax10在x1,)上恒成立,即a在x1,)上恒成立,a1.答案:1,)三、解答题(本题共3小题,每小题12分,共36分)10(20xx高考全国卷)设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)ax1,求a的取值范围解:(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0得x1或x1.当x(,1)时,f(x)0;当x(1,)时,f(x)0.所以f(x)在(,1),(1,)单调递减,在(1,1)单调递增(2)f(x)(1x)(1x)ex.当a1时,设函数h(x)(1x)ex,则h(x)xex0),因此h(x)
6、在0,)单调递减而h(0)1,故h(x)1,所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.当0a0(x0),所以g(x)在0,)单调递增而g(0)0,故exx1.当0x(1x)(1x)2,(1x)(1x)2ax1x(1axx2),取x0,则x0(0,1),(1x0)(1x0)2ax010,故f(x0)ax01.当a0时,取x0,则x0(0,1),f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.综上,a的取值范围是1,)11(20xx河南郑州质量检测)设函数f(x)x2mln x,g(x)x2(m1)x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当m0时,讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数解:(1)函数
7、f(x)的定义域为(0,),f(x),当m0时,f(x)0,所以函数f(x)的单调递增区间是(0,),无单调递减区间当m0时,f(x),当0x时,f(x)0,函数f(x)单调递减;当x时,f(x)0,函数f(x)单调递增综上,当m0时,函数f(x)的单调递增区间是(0,),无单调递减区间;当m0时,函数f(x)的单调递增区间是(,),单调递减区间是(0,)(2)令F(x)f(x)g(x)x2(m1)xmln x,x0,问题等价于求函数F(x)的零点个数,当m0时,F(x)x2x,x0,有唯一零点;当m0时,F(x),当m1时,F(x)0,函数F(x)为减函数,注意到F(1)0,F(4)ln 4
8、0,所以F(x)有唯一零点当m1时,0x1或xm时,F(x)0;1xm时,F(x)0,所以函数F(x)在(0,1)和(m,)上单调递减,在(1,m)上单调递增,注意到F(1)m0,F(2m2)mln(2m2)0,所以F(x)有唯一零点当0m1时,0xm或x1时,F(x)0;mx1时,F(x)0,所以函数F(x)在(0,m)和(1,)上单调递减,在(m,1)上单调递增,易得ln m0,所以F(m)(m22ln m)0,而F(2m2)mln(2m2)0,所以F(x)有唯一零点综上,函数F(x)有唯一零点,即两函数图象有一个交点12(20xx河南洛阳模拟)已知函数f(x)ln x,曲线yf(x)在点
9、处的切线平行于直线y10x1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设直线l为函数g(x)ln x的图象上任意一点A(x0,y0)处的切线,在区间(1,)上是否存在x0,使得直线l与曲线h(x)ex也相切?若存在,满足条件的x0有几个?解:(1)函数f(x)ln x,f(x),曲线yf(x)在点处的切线平行于直线y10x1,f28a10,a1,f(x).x0且x1,f(x)0,函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,)(2)存在且唯一,证明如下:g(x)ln x,切线l的方程为yln x0(xx0),即yxln x01,设直线l与曲线h(x)ex相切于点(x1,ex1),h(x)ex,e,x1ln x0,直线l的方程也可以写成y(xln x0),即yx,由得ln x01,ln x0.证明:在区间(1,)上x0存在且唯一由(1)可知,f(x)ln x在区间(1,)上单调递增,又f(e)0,f(e2)0,结合零点存在性定理,说明方程f(x)0必在区间(e,e2)上有唯一的根,这个根就是所求的唯一x0.