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1、最新版教学资料数学课时强化训练(十四)一、选择题1(2013辽宁联考)已知圆M：x2y22mx30(m0)的半径为2，椭圆C：1的左焦点为F(c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为()A.B1C2 D4解析：圆M的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得m234，即m21(m0)，m1，则圆心M的坐标为(1,0)由题意知直线l的方程为xc，又直线l与圆M相切，c1，a231，a2.答案：C2(2013银川模拟)若点P在曲线C1：1上，点Q在曲线C2：(x5)2y21上，点R在曲线C3：(x5)2y21上，则|PQ|PR|的最大值是()A6B8C10D12解析：依题意得
2、，点C3(5,0)、C2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|PR|(|PC2|1)(|PC3|1)|PC2|PC3|224210，故|PQ|PR|的最大值是10.答案：C3(2013郑州质检)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29x By26xCy23x Dy2x解析：过点B作准线的垂线，垂足为B1，记准线与x轴的交点为F1，则依题意得，所以|BB1|FF1|，由抛物线定义得|BF|BB1|.令A(x1，y1)、B(x2，y2)，依题意知F，可设直线l的方程为yk.
3、联立方程消去y得k2x2p(k22)x0，则x1x2，x1x2.又由抛物线的定义知|AF|x1，|BF|x2，则可得，于是有，解得2p3，所以此抛物线的方程是y23x，选C.答案：C4等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，|AB|4，则C的实轴长为()A.B2C4D8解析：设等轴双曲线方程为x2y2a2，根据题意，得抛物线的准线方程为x4，代入双曲线的方程得16y2a2，因为|AB|4，所以16(2)2a2，即a24，所以2a4，所以选C.答案：C5(2013荆州质检)若椭圆1(ab0)的离心率e，右焦点为F(c,0)，方程ax22bxc0的两个实数
4、根分别是x1和x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为()A. B. C2 D.解析：因为e，所以a2c，由a2b2c2，得，x1x2，x1x2，点P(x1，x2)到原点(0,0)的距离d.答案：A6已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A. B4 C3 D5解析：y212x的焦点为(3,0)，由题意得，4b29，b25，双曲线的右焦点(3,0)到其渐近线yx的距离d.答案：A二、填空题7过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.解析：设过抛物线焦点的直线为yk，联立得整理得k2x2(k22
5、)xk20，x1x2，x1x2.|AB|x1x211，得k224，代入k2x2(k22)xk20得12x213x30，解之得x1，x2，又|AF|BF|，故|AF|x1.答案：8(2013昆明调研)已知点F(c,0)是双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆F：(xc)2y2c2相切，则双曲线C的离心率为_解析：依题意得，圆心F(c,0)到双曲线C的渐近线的距离等于c，即有bc，c22b22(c2a2)，c22a2，即双曲线C的离心率为.答案：9定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离已知曲线C1：yx2a到直线l：yx的距离等于曲线C2：x2(y4)
6、22到直线l：yx的距离，则实数a_.解析：求出曲线C1到直线l的距离和曲线C2到直线l的距离，建立等式，求出参数a的值曲线C2：x2(y4)22到直线l：yx的距离为圆心到直线的距离与圆的半径之差，即dr，由yx2a可得y2x，令y2x1，则x，在曲线C1上对应点P，则曲线C1到直线l的距离即为点P到直线l的距离，故，可得2，a或a，当a时，曲线C1：yx2与直线l：yx相交，两者距离为0，不合题意，故a.答案：三、解答题10设抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点(1)若BFD90，ABD的面积为4，求p的值及圆F的
7、方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值解析：(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，|BD|2p，圆F的半径|FA|p，由抛物线定义可知A到l的距离d|FA|p.因为ABD的面积为4，所以|BD|d4，即2pp4，解得p2(舍去)，p2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB90.由抛物线定义知|AD|FA|AB|，所以ABD30，m的斜率为或.当m的斜率为时，由已知可设n：yxb，代入x22py得x2px2pb0.由于n与C只有一个公共点，故
8、p28pb0，解得b.因为m的截距b1，所以3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值也为3.11如图，椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e.过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解析：方法一：(1)因为|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8，又|AF1|AF2|B
9、F1|BF2|2a，所以4a8，a2.又因为e，即，所以c1，所以b.故椭圆E的方程是1.(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230.(*)此时x0，y0kx0m，所以P.得Q(4,4km)假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上设M(x1,0)，则0对满足(*)式的m，k恒成立因为，(4x1,4km)，由0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130.(*)由于(*)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.故存在定点M
10、(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.方法二：(1)同解法一(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230.(*)此时x0，y0kx0m，所以P.由得Q(4,4km)假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上取k0，m，此时P(0，)，Q(4，)，以PQ为直径的圆为(x2)2(y)24，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取k，m2，此时P，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为22，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)所以若符合条
11、件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)以下证明M(1,0)就是满足条件的点：因为M的坐标为(1,0)，所以，(3,4km)，从而有330，故恒有，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.12如图，椭圆C0：1(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2y2t，bt1a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2y2t与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2a，t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，证明：tt为定值解析：(1)设A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y(xa)，直线A2B的方程为y(xa)由得y2(x2a2)由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故1，从而yb2，代入得1(xa，y0)(2)设A(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，得4|x1|y1|4|x2|y2|，故xyxy.因为点A，A均在椭圆上，所以b2xb2x.由t1t2，知x1x2，所以xxa2，从而yyb2，因此tta2b2为定值
