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1、 I题源探究黄金母题【例1】已知圆：，圆：，试判断圆与圆的位置关系【解析】（法一）圆与圆的方程联立得到方程组-得， 由得把上式代入并整理得 方程的判别式，所以方程有两个不等的实数根,即圆与圆相交（法二）把圆：，圆：，化为标准方程，得与圆的圆心是点，半径长；圆的圆心是点，半径长圆与圆的连心线的长为，圆与圆的半径长之和为，半径长之差为而，即，所以圆与圆相交，它们有两个公共点II考场精彩真题回放【例2】【山东高考】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆与圆： 的位置关系是（）A内切B相交C外切D相离【答案】B【例3】湖南高考文科若圆与圆外切，则（）A21B19C9D-11【答案】C【解析】圆配方得，
2、则圆心为，半径为，且由，得根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得,故选C.【例4】北京高考卷已知圆：和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意知，点在以原点为圆心，以为半径的圆上，又因为点在已知圆上，所以只要两圆有公共点即可由题意知两圆的圆心距，根据两圆有公共点可知所以，所以的最大值为6，故选B【例5】【20xx重庆高考卷】已知圆,圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点,则的最小值为（）（）ABCD 【答案】A【解析】两圆的圆心和半径分别为，两圆相离关于的对称圆的方程为，圆心，所以，所以动点到圆心的距离之和的最小值为，所以的最小值为，故选A【例6】
3、【20xx高考山东高考卷】圆与圆的位置关系为A内切B相交C外切D相离【答案】B【解析】两圆的圆心分别为，半径分别为，两圆的圆心距离为，则，所以两圆相交，故选B精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第129页例3【母题评析】本题判断已知方程的两个圆的位置关系，解答时用直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较来解答的对于高考对两圆位置关系考查难度不大前提下，此类题具有较强的代表性，命题人常常以此为母题加以改造命制新的高考试题【思路方法】本题解答主要是利用几何法判断两个圆的位置关系，即直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较【命题意图】本类题主要考查两圆的位置关系，
4、以及考查逻辑思维能力、运算求解能力【考试方向】这类试题在考查题型上，主要是单独命题在选择题与填空题中考查，不可能在解答题中出现，难度偏下【难点中心】比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点III理论基础解题原理考点一几何法判断圆与圆的位置关系判断圆心距d与两圆半径R，r（Rr）的和与差的大小关系图形量的关系位置关系外离外切相交内切内含交点个数01210考点二代数法判断两圆位置关系判断圆与圆的方程组解的个数：若有两组实数解，则圆与圆相交；若有一组实数解，则圆与圆相切（外切与内切）；若无实数解，则圆与圆相离（外离与内含）考点三圆系方程方程表
5、示圆的充要条件是：且且.过圆：与：的交点的圆系方程：()当时，表示两圆的公共弦所在直线方程IV题型攻略深度挖掘【考试方向】高考对本部分知识的考查主要以选择题、填空题的形式出现，试题难度较易，通常考查两个已知圆的位置关系、已知位置关系求参数、两个圆的公共弦问题、两个圆的公切线问题、与两圆相关的轨迹等主要问题【技能方法】若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离，然后比较与两圆半径和与差的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)或不等式（组）求解【易错指导】（1）涉及到两圆的公切线与公共弦等问题时，易忽视相关直线的斜率存在与不存在而致错；（2）将由几何
6、法得到的几何等式不能正确转化为代数等式而导致解题无法进行；（3）表示过圆：和：的交点的圆系方程，此圆系方程中不含有圆的方程如果在解题中不注意对圆的方程进行验证V举一反三触类旁通考向1圆与圆的位置关系的判断【例7】【20xx江苏南京市三模】在平面直角坐标系中，圆M：，点N为圆上任意一点若以为圆心，为半径的圆与圆至多有一个公共点，则的最小值为_【答案】3【名师点拨】若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离，然后比较与两圆半径和与差的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)求解【跟踪练习【20xx黑龙江大庆一中下期开学考试】在平面直角坐标系中，圆的方程
7、为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是（ ）ABCD【答案】A【解析】圆的方程为，即，表示以为圆心，半径等于1的圆，要使直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，只需要和圆有公共点，即点到直线的距离为，即解得，则的最大值是，故选A考向2两圆的公共弦问题【例8】【湖南省高三六校联考】已知圆与圆相交于两点，且满足，则_【答案】【解析】两圆公共弦所在直线方程为，设其中一圆的圆心为，得【方法点睛】本题解答的要点有二，一是通过两圆为方程得到它们公共弦所在直线的方程，把问题转化为直线与圆的位置关系；二是对条件“”的理解和应用，考查考生数形结
8、合的意识，实质上表达了两点到原点的距离相等，这样通过圆的性质来解答，问题就变得容易了【跟踪练习【20xx重庆五区开学抽测】若圆与圆（）的公共弦长为2，则a_.【答案】1考向3两圆公切线问题【例9】【20xx江苏清江中学考前一周双练】已知圆，为轴正半轴上的动点，若圆与圆相外切，且它们的内公切线恰好经过坐标原点，则圆的方程是_【答案】【解析】设内公切线的方程为，即，因为直线与圆相切，所以到直线的距离，解得直线的方程是，令，解得坐标，所以圆的半径等于3，圆方程是【题型总结】两圆公切线问题常见两类题型：（1）求两个已知圆的公切线；（2）根据公切线方程求相关参数；（3）根据公切线的条件判断两圆位置关系，
9、并求角相关问题求解此类题的方法与求解直线和圆相切的方法基本是一样，只是涉及到两个圆的相切问题考向4两圆位置关系中的最值问题【例10】【20xx浙江诸暨市教学质检】）已知圆与直线，且直线上有唯一的一个点,使得过点作圆的两条切线互相垂直，则_；设是直线上的一条线段，若对于圆上的任意一点,则的最小值是_【答案】【解析】根据圆的对称性知直线上的唯一点与圆心所在直线必与直线垂直，则所在直线的方程为，即，与直线联立求解得，再根据对称性知过点的两条切线必与坐标轴垂直，即为，易得；由题意，知取得最小值时，一定关于直线对称，如图所示，因此可设以点为圆心，以为半径的圆，即与圆内切时，的最小值即为，由相切条件易知【
10、名师点拨】数形结合法是求解析几何问题中最值问题常用方法，它可以将所涉及到的几何量及其相互间的关系直观的反映在图形上，此时常常可通过直观观察得到答案【跟踪练习】【20xx海南省文昌中学上期期末】在平面直角坐标系中，过动点分别作圆与圆的切线，若 若为原点，则的最小值为（）ABCD【答案】B【例11】点P在圆上，点Q在圆上，则的最小值是（）A5B0C35D52【答案】C【解析】圆的圆心坐标为，半径为；圆的圆心坐标为，半径为，且，则的最小值为，故选C【方法提炼】圆问题中最值问题要考虑两个方向：（1）几何法，利用平面几何知识分析直线、圆心之间的距离关系、圆与圆的位置关系、图形的对称性；（2）代数法，也就
11、是通过建立某些变量的关系表达式，然后结合基本不等式、配方法可求得最大（小）值【跟踪练习】已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（）A B C D【答案】A【解析】如图：如图圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标，半径为3，|的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即：,故选A考向4与圆有关的轨迹问题【例12】已知圆，圆，动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是_【答案】【方法点睛】与圆相切有关的轨迹问题，通常利用相切条件确定出动点满足的几何条件，此条件常常与椭圆、双曲线、抛物线相关，即主要是结合圆锥曲线的定义来解【跟踪练习】已知动圆与圆：外切，与圆：内切
12、，则动圆圆心的轨迹方程为_【答案】【解析】设动圆圆心，半径为，由圆方程可知圆心,半径，由圆方程可知圆心，半径因为圆与圆外切，所以因为圆与圆内切，所以，所以，即，又因为，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，此时，所以，所以点的轨迹方程是考向6圆系方程的应用【例13】圆心在直线上，并且经过圆与圆交点的圆的方程为_【答案】 【跟踪练习】经过点以及圆与圆交点的圆的方程为_【答案】【解析】设过圆与圆交点的圆的方程为把点的坐标代入式得，把代入并化简得，所求圆的方程为：考向6直线与圆和其它知识的交汇【例14】若圆与圆都关于直线对称，则（）ABCD【答案】B【解析】圆的圆心为,的圆心为,圆心都在直线,所以有,解得.【思维点睛】解答圆与其它知识的交汇题通常考虑两种途径：（1）利用两圆位置关系的将问题转化与之交汇相关的数学结论，再求解；（2）利用与之交汇的知识将问题转化为与两圆位置关系相关的数学结论，再求解【跟踪练习】两个圆与恰有三条公切线，则的最小值为（）A、B、C、D、【答案】C
