《2020届高三数学一轮复习 第7章 第7节 立体几何中的向量方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高三数学一轮复习 第7章 第7节 立体几何中的向量方法（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节立体几何中的向量方法考纲传真1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用1直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量(2)平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量2空间位置关系的向量表示3.求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l
2、1，l2的方向向量，则1面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图7-7-1)4求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角|an|为，则sin|cosa，n|a|n|.5求二面角的大小(1)若AB，CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二图7-7-1(2)设n1，n2分别是二面角-l-的两个面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图7-7-2)(4)两异面直线夹角的范围是0，2，直线与平面所成角的范围是0，2，二1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两直线的方向向量所
3、成的角就是两条直线所成的角()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()面角的范围是0，答案(1)(2)(3)(4)2(t2教材改编)设u(2,2，)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量若，则t()A3C.5B.4D.6C，则uv262(4)4t0，t5.3(2014全国卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()1A.1030C.102B.52D.2的余弦值cos10.65AC建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，设BC
4、2，则B(0,2,0)，(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以BM(1，1,2)，AN(1,0,2)，故BM与AN所成角|BMAN|330|BM|AN|4如图7-7-3所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_垂直以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空图7-7-33间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M0，1，2，O2，2，0，N2，0，1，AMON0，1，20，2，10，ON与AM垂直1111115(2017唐山模拟)过正
5、方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_45如图，建立空间直角坐标系，设ABPA1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，AD平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，AD(0,1,0)，AE0，2，2分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且AD，CDAE，从而AE平面PCD.11AE45.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45.利用向量证明平行与垂直问题如图7-7-4所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.【导
6、学号：01772274】(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.4所以E2，1，2，F0，1，2，EF2，0，0，AP(0,0,1)，AD(0,2,0)，DC图7-7-4证明以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，1111(1,0,0)，AB(1,0,0).3分1(1)因为EF2AB，所以EFAB，即EFAB.又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF平面PAB.6分(2)因为APDC(0,0,1)(1,0,0)0，ADDC(0,2,
7、0)(1,0,0)0，所以APDC，ADDC，即APDC，ADDC.9分又因为APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以DC平面PAD.因为DC平面PDC，所以平面PAD平面PDC.12分规律方法1.利用向量证明平行与垂直，充分利用已知的线面垂直关系构5建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键2运用向量知识判定空间位置关系，不可忽视几何定理满足的条件，如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，必需强调直线在平面外变式训练1(2017北京房山一模)如图7-7-5，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且PAAD
8、2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点求证：(1)PB平面EFH；(2)PD平面AHF.图7-7-5证明建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.BPEFA(0,0,0)，(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，(0,0,2)，(0,0,1)，(0,1,1)，H(1,0,0).3分(1)PB(2,0，2)，EH(1,0，1)，PB2EH，PBEH.PB平面EFH，且EH平面EFH，PB平面EFH.6分6PDAF0021(2)10，9分PDAH0120(2)00，(2)PD(0,2，2)，AH(1,0,0)，AF(0,1,1)，PDAF，PDAH.又AFAHA，PD平面AHF.
9、12分线面角与异面直线所求的角角度1求异面直线所成的角将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC所成的角为()【导学号：01772275】A.6C.3B.4D.2C不妨以ABC为底面，则由题意当以A，B，C，D为顶点的三棱锥体积最大，即点D到底面ABC的距离最大时，平面ADC平面ABC.设点O是AC的中点，连接BO，DO.则易知BO，CO，DO两两互相垂直以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令BOCODO1.则O(0,0,0)，A(0，1,0)，D(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，于是AD(0,1,1)，BC(1,1,0)，7因此cosAD，BC2.22(3)代入公式|cos1，2|1|2|求解2两异面直线所成角的范围是0，2，两向量的夹角的范围是0，ADBC11|AD|BC|所以异面直线AD与BC所成的角为3.规律方法1.利用向量法求异面直线所成的角(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量1，2；|12当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量
