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1、割补转化法求几何体的体积一. “割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口,从而很方便地进行计算使问题得到顺利的解决,是处理空间图形中惯用的手段。通过对该方法的学习与探讨,使我们能正确地分析出几何中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合和变形，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力。ABCPED方法5：如图，选取BC的中点D, 连结AD、PD，则BCAD且BCPD BC平面APDVPABCVBAPDVCAPDSAPDD1DABB1CC1例2.如图的多面体是过正四棱柱的底面ABCD的点A作载面AB1C1
2、D1而截得的，且BB1=DD1.已知截面AB1C1D1与底面ABCD成30的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为（ ）ABCD例32003年全国卷（12）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）BACD（A） （B）4 （C） （D） 分析：本题中没有立方体,可充分挖掘是正四面体特点补形成立方体.如图,将正四面体ABCD补成立方体,则正四面体、立方体的中心与其外接球的球心共一点.因为正四面体的棱长为,所以正方体棱长为1,从而外接球半径R=,得.选(A).例4、如图:直三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B
3、APQC的体积为A、 B、 C、 D、例5.棱长为1的正方体容器ABCDA1B1C1D1 , 在A1B、A1B1、B1C1的中点E、F、G处各开有一个小孔. 若此容器可以任意放置, 则装水最多的容积是（小孔面积对容积的影响忽略不计）A. B. C. D. 例6、如图9-8-7，在正三棱柱ABCA1B1C1中，高为3，底面边长为2，D、E分别是AC、BC的中点，求四棱锥AA1B1ED的体积解：连A1E，则SSABC， 故3223例7（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等
4、的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）AS1S2CS1=S2 DS1，S2的大小关系不能确定解：连OA、OB、OC、OD，则VABEFDVOABDVOABEVOBEFD，VAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共，故选C例8如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1V2= _ _。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V
5、=V1+V2Sh。E、F分别为AB、AC的中点，SAEF=S,V1=h(S+S+)=Sh，V2=Sh-V1=Sh，V1V2=75。例9在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=，这个平行六面体的体积为_ _。正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积。（2）如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H 由题设AOFAEG ，得AO1HAOF ，得思考题：1、(2008全国16）等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 2、已知二面角-l-为 ，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）(A) (B)2 (C) (D)4 4
