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1、二次函数练习1、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点P（3，0），与y轴相交于点A（0，1），若抛物线向上平移运动，使点A运动至点C（0，3），在运动过程中抛物线保持形状不变，则点P（3，0）运动至点Q（填写点Q的坐标）请你求出抛物线中AP段运动所形成的图形（阴影部分）面积（2）点A运动至点C向上运动了4个单位，点P运动至点Q则向上运动了4个单位（3，4），又P点坐标为（3，0），Q点坐标为（3，4）原图形经过平移变化可以得到长为4，宽为3的矩形或长为4高为3的平行四边形APQC，其面积为34=12故答案为：228；（3，4）抛物线向右平移个单位得到抛物线，且平移后的抛物线经过点（1
2、）求平移后抛物线的解析式；（2）设原抛物线与轴的交点为，顶点为，平移后抛物线的对称轴与轴交于点，求的面积如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（-1，0）、（0,3），下列结论中错误的是Aabc0 B9a+3b+c=0 Ca-b=-3 D. 4acb20B已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（1，0），求这个二次函数的解析式.若二次函数的顶点在第一象限，且经过点（0，1）、（1，0），则y的取值范围是（）Ay1 B1y1 C0y2 D1y2C同一坐标系中，抛物线y=(x-a)2与直线y=a+ax的图像可能是D在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图
3、象大致所示中的（）ABCDB已知二次函数的图象如图所示对称轴为x=下列结论中，正确的是（）A B C DC二次函数y=ax2+bx+1（a0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）设t=a+b+1，则t值的变化范围是（）A0t1 B0t2 C1t2 D-1t1C抛物线的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为，则、的值为（）A、 B、 C、 D、如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)设点A的横坐标为t(t4)，矩形ABCD的周长为l求l与t之间函数关系式.若
4、抛物线经过点（1,1），并且当时，有最大值3，则求出抛物线的解析式。如图，抛物线y=x2与直线y=x交于A点，沿直线y=x平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点恰好为A点，则平移后抛物线的解析式是（）A BC D已知直线y=b（b为实数）与函数y=的图像至少有三个公共点，则实数b的取值范围已知抛物线的系数满足，则这条抛物线一定经过点（ )A B C D将抛物线绕它的顶点旋转180，所得抛物线的解析式是（）A BC D如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x6）2，已知 球网与点O的水平距离为9米
5、，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由（3）若球一定能越过球网，又不出边界则h的取值范围是多少？解：（1）h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，抛物线y=a（x6）2+h过点（0，2），2=a（06）2+2.6，解得：a=，故y与x的关系式为：y=（x6）2+2.6，（2）当x=9时，y=（x6）2+2.6=2.452.43，所以球能过球网；当y=0时，（x6）2+2.6=0，解得：x1=6+18，x2=6（舍去）故会出界；（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（
6、x6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：，解得，此时二次函数解析式为：y=（x6）2+，此时球若不出边界h，当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：，解得，此时球要过网h，故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”,a,b,c称为“抛物线三角形系数”.（1）若抛物线三角形系数为-1,b,0的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值；（2）若OAB是“抛物线三角形”，其中点B为顶点，抛物线三角形系数为-2，2m
7、，0，其中m0；且四边形ABCD是以原点O为对称中心的矩形，求出过O、C、D三个点的抛物线的表达式.（1）b=2或2（2）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4）、抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.（1）求此抛物线的解析式. （2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标：（1）抛物线顶点坐标为（1,4）设y=a(x-1)2+4由于抛物线过点B(0，3)3=a(0-1)2+4解得a=-1解析式为y=-(x-1)2+4即y=-x2+2x+3（2）作点B关于x轴的对称点E（0，-3），连接AE交x轴于点P.设AE解析式y=kx+b，则解得yAE=7x-3当y=0
8、时，x=点P坐标为(，0)如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为A（-4，0）. B(1, 0). C(-2, 6).(1)求经过点A. B. C三点的抛物线解析式。(2)设直线BC交y轴于点E，连结AE，求证：AE=CE；(3)设抛物线与y轴交于点D,连结AD交BC于点F，求证：以A. B. F为顶点的三角形与ABC相似，并求：。(1)y=（2）（3）5：9如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a0）经过ABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明
9、理由解：（1）令x=0，则y=4，点C的坐标为（0，4），BCx轴，点B，C关于对称轴对称，又抛物线y=ax2-5ax+4的对称轴是直线，即直线点B的坐标为（5，4），AC=BC=5，在RtACO中，OA=，点A的坐标为A（，0），抛物线y=ax2-5ax+4经过点A，9a+15a+4=0，解得，抛物线的解析式是（2）存在，M（，）理由：B，C关于对称轴对称，MB=MC，；当点M在直线AC上时，值最大，设直线AC的解析式为，则，解得，令，则，M（，）如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC的形状，证
10、明你的结论；（3）点M是x轴上的一个动点，当DCM的周长最小时，求点M的坐标解：（1）点在抛物线上，抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（2）ABC是直角三角形当时，则当时，则,ABC是直角三角形（3）作出点C关于轴的对称点C，则连接CD交轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，CDM的周长最小设直线CD的解析式为，则：则，解得，当时，则，已知二次函数为常数，且. （1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C，与轴交于A，B两点，当ABC的面积等于2时，求的值.（1）证明：. ， 方程有两个不相等的实数根. 不论为
11、何值，该函数的图象与轴总有两个公共点.（2），顶点的坐标为.当时，解得，所以.当ABC的面积等于时，或.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动（1）设运动开始后第ts时，五边形APQCD的面积是Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？（1）S=t2-6t+72；0t6（2）由S=（t-3）2+63即当t=3时，S有最小值为63cm2如图，某隧道口的横截面是抛
12、物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？（1）设所求函数的解析式为由题意，得 函数图象经过点B（3，-5），-5=9a所求的二次函数的解析式为x的取值范围是（2）当车宽米时，此时CN为米，对应，EN长为，车高米，农用货车能够通过此隧道.4a7 = 6，解得；综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）12分已知二次函数的图象Q与x轴有且只有一个交点P，与y轴的交点为B（0，4），且acb，（1）求这个二次函数的解析式。（2）将一次函数y3x的图象作适当平移，使它经过点P，记所得的图象为L，图象L与Q的另一个交点为C，请在y轴上找一点D，使得CDP的周长最短。：（1）由B（0，4）得，c=4.Q与x轴的交点P（，0），由条件，得，所以=，即P（，0）所以解得所求二次函数的解析式为（2）设图象L的函数解析式为y=x+b，因图象L过点P（，0），所以，即平移后所得一次函数的解析式为y=令=，解得，将它们分别代入y=，得，所以图象L与Q的另一个交点为C（，9）点P（，0）关于y轴的对称点为点P（2，0）则直线CP的解析式为，且与y轴的
