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1、最新数学精品教学资料【中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知x2-3=（1-A）x2BxC，求
2、A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知，求的值”，解答此题，只需设定，则，代入即可求解。这里的k就是消除的待定参数。 应用待定系数法解题的一般步骤是：（
3、1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。典型例题：例：（2011云南玉溪3分）若是完全平方式，则=【 】A9 B9C9D3
4、 【答案】A。【考点】待定系数法思想的应用。【分析】设，则，。故选A。练习题：1.（2012江苏南通3分）已知x216xk是完全平方式，则常数k等于【 】A64 B48 C32 D162.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x2kx+9是一个完全平方式，则k的值是 。3.（2011江苏连云港3分）计算 (x2) 2的结果为x 2x4，则“”中的数为【 】A2 B2 C4 D44.（2011湖北荆州3分）将代数式化成的形式为【 】 A. B. C. D.二.待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题
5、获解。典型例题：例：（2012四川凉山4分）已知，则的值是【 】A B C D【答案】D。【考点】比例的性质。【分析】，设，则b=5k， a=13k，把a，b的值代入，得，。故选D。练习题：1.（2012北京市5分）已知，求代数式的值。2.（2011四川巴中3分）若，则= 。三.待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x36x2+11x6，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）。典型例题：例1：（2012湖北黄石3分）分解因式： 。【答案】（x1
6、）（x2）。【考点】因式分解。【分析】设， ，解得或， 。注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。例2：分解因式： 。【答案】。【考点】因式分解。【分析】， 可设。 ， 。 比较两边系数，得。 联立，得a=4，b=1。代入式适合。 。练习题：1. （2012四川南充3分）分解因式： = 。2. （2012山东潍坊3分）分解因式：x34x212x= 。3. （2011贵州黔东南4分）分解因式： 。四.待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我
7、们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，的形式(其中k、b为待定系数，且k0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a (xh) 2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a (xx1)(xx2)( a 、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k
8、、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。典型例题：例1：（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a1，2a3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2mn3)2的值等于 【答案】16。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。【分析】由于a不论为何值此点均在直线l上，令a=0，则P1（1，3）；再令a=1，则P2（0，1）。设直线l的解析式为y=kx+b（k0）， ，解得 。直线l的解析式为：y=2x1。Q（m，n）是直线l上的点，2m1=n，即2mn=1。(2mn3)2=（1+3）2=16。例2：（2012山东聊城7分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0
9、），与y轴交于点B（0，2）（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且SBOC=2，求点C的坐标【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，直线AB过点A（1，0）、点B（0，2），解得。直线AB的解析式为y=2x2。（2）设点C的坐标为（x，y），SBOC=2，2x=2，解得x=2。y=222=2。点C的坐标是（2，2）。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式。（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及SBOC=
10、2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。例3：（2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水清洗灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b，图象经过（0，1500），（25，1000），解得：。排水阶段解析式为：y=20t+1500。清洗阶段：y=0。灌水阶段：设解析式为：y=at+c，图象经过（195，1000），（95，0），解得：。
11、灌水阶段解析式为： y=10t950。（2）排水阶段解析式为：y=20t+1500，令y=0，即0=20t+1500，解得：t=75。排水时间为75分钟。清洗时间为：9575=20（分钟），根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500 m3，1500=10t950，解得：t=245。故灌水所用时间为：24595=150（分钟）。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水阶段解析式即可。（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。例4：（2012湖南娄底3分
12、）已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的解析式是【 】A B C D 【答案】B。【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设反比例函数图象设解析式为，将点（1，2）代入得，k=12=2。则函数解析式为。故选B。例5：（2012江苏连云港12分）如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF2，EF3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求ABD的面积；(3)将AOC绕点C逆时针旋转90，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由【答
13、案】解：(1)四边形OCEF为矩形，OF2，EF3，点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)把x0，y3；x2，y3分别代入yx2bxc，得，解得。抛物线所对应的函数解析式为yx22x3。(2)yx22x3(x1)24，抛物线的顶点坐标为D(1，4)。ABD中AB边的高为4。令y0，得x22x30，解得x11，x23。AB3(1)4。ABD的面积448。(3)如图，AOC绕点C逆时针旋转90，CO落在CE所在的直线上，由（1）(2)可知OA1，OC=3，点A对应点G的坐标为(3，2)。当x3时，y3223302，点G不在该抛物线上。【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方
14、程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出ABD的面积。(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可。例6：（2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为 【答案】y=x2+4x3。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），可设抛物线的解析式为y=a（x2）2+1。 又抛物线y=a（x2）2
