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1、实用标准文档分式运算的几种技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时 计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。、整体通分法a 2_例1计算：市a -i【分析】本题是一个分式与整式的加减运算如能把(-a-1 )看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运 算更加简便通常我们把整式看作分母是1的分式.【解】a 2a 2-a-1= 一 a - 1a - 1-(a +1) = =a - 1(a +1)(a - 1) = a2 - (a +1)(a - 1) =1a - 1a - 1a - 112x+1x+2x -
2、4 x - 3二(1+丄)-(1+丄)+(1- 1 )-(1- 1 )x +1x+2x - 4x - 31111= - - +x +1 x+2 x - 4 x - 3二、先约分后通分法x +1+ x2 - 2 x例 2 计算 x2+3x+2x2-4分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许 多。x+1x (x -2)1 x x + 1解：原式二(x+1)(x+2) + (x-2)(x+2)二 x+2 + x+2 二 x+2三、分组加减法1 2 2 1例 3 计算 a - 2 + a+1 - a-1 - a+2分析：本题项数较多，分母不相同
3、因此，在进行加减时，可考虑分组分组的原则是使各组运算后的结果能出现 分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。1 1 2 2解：原式二(a2 a+2 ) + ( a+1 a1 )44=a 2 - 4 + a 2 1 = (a 2 - 4)( a 2 1)四、分离整数法x + 2 x + 3 x 5 x 4例4计算 +x +1 x + 2 x 4 x 3方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解 某些分式方程中，也可使用分裂整数法。(x+1)+1 (x+2)+1丄(x -4)-1 (x -3)-1解：原式二-+五、逐项通分法例5计算:
4、12xa + x a2 + x24x3a4 一 x4分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问 题简单化。4 一 8X4 + 1 x8 + 1112同类方法练习题：计算宀-一丄-一x 1 x + 1 x2 + 1六、裂项相消法计算:a(a +1) (a +1)(a +2)(a +2)( a +3)1(a +9)( a +10)分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若 a是整数），联想到=丄-亠，这样可抵消一些项.a （a +1） a a +1解:原式二（一-a1a +1)+(1a +3)
5、+. + (丄a +91a +101 1 = 10 , a a +10 a (a +10)七、整体代入法1 12 x 5 xy + 2 y例7.已知一+ 二5求的值x yx + 2 xy + y解法1:112 x 5 xy + 2 yy+ 二5.xy壬0,.所以-x yx + 2 xy + y22J1、5 +2( + ) 5_ 一x_xy=1=1 _yxxy2x55_55 + 2 = 7-11, x + y解法2 ：由一+ 二5得，=5,x yxyx+y=5xy2 x 5 xy + 2 yx + 2 xy + y2( x + y) - 5 xy(x + y) + 2 xy2 x 5 xy 5
6、xy 5 xy 55 xy + 2 xy7 xy 71 1练习：若二5,x y3 x + 5 xy 3 y 求匸十2的值八、公式变形法1例 8.已知 a2-5a+1=0,计算 a4+ -a 4解：由已知条件可得a壬0, .a+ =5a1 1 1/.a4+=(a2+)2-2二(a+ )2-22-2二(52-2)2-2二527a 4a 2a练习：（1）已知 乂2+3*+1二0,求X2+1 的值.x 2九、设中间参数法b + ca + c 1a + b一(a + b)(b + c)(c + a)例9.已知二二-计算：一abcabc亠b + ca + ca + b解：设-二二k，则 b+c=ak；a+
7、c=bk； a+b=ck；abc把这3个等式相加得2(a+b+c)二(a+b+c)k 若 a+b+c=0, a+b= -c,则 k= -1 若 a+b+c壬0,则 k=2(a + b)(b + c)(c + a) ak - bk - ck二=k3abcabc当k=-1时，原式二-1当k=2时，原式二8练习： 已知实数x、y满足x:y=1:2，则3x =x + yx y z 2x 3y + 4z（2）已知一=丄=，则二。4563z十、先取倒数后拆项法（尤其分子单项，分母多项）例10.已知二7,求的值a2 a +1118解：由条件知a壬0,二石，即a+a 7 a 7a 4 + a 2 +11115
8、二玄2+ +1二) 2-1-a 2a 2a49a 249 a 4 + a 2 +1 151a 2练习：已知口玄+ 二5.贝1二.aa 4 + a 2 +1十一、特殊值法（选填题）, abc例 11. 已知 abc=1,贝I + H二.ab + a +1 bc + b +1 ca + c +1分析：由已知条件无法求出a、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值. 解：令 a=1, b=1, c=1，则1 1 1 111原式二+二 + + 二1.1x1 +1 +1 1x1 +1 +1 1x 1 +1 +1 3 3 3说明：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地
9、求出结果.一 y + z x + z x + y 练习：(1)已知：xyz壬O,x+y+z=O,计算 +x y zx y z 2x 3y + 4z(2)已知一=匸=，则二4563z十二、主元法X 2 + y 2 + z 2 例 12. 已知 xyz壬0,且 3x-4y-z=0,2x+y-8z=0,求的值.xy + yz + 2 zx解：将z看作已知数，把3x-4y-z=0与2x+y-8z=0联立, 得3x-4y-z=0,2x+y-8z=0.解得x=3 z,y=2z.所以,(3 z )2 + (2 z )2 + z214 z2J原工式(3 z) - (2 z) + (2 z) - z + 2 z
10、 - (3 z) 14 z 2a 2 + b 2 + c 2 练习：已知 3a-4b-c0,2a+b-8c0,计算：-ab + bc + ac混合运算练习题x + 3 y x + 2 y2 x 3 yx 2 y 2x 2 y 2y 2 x 2(2)x 2x1x 1a a + 63(4)-+a 3 a2 3aa2 xyx+(7)(x y x + y 丿xy/ a a 、a 2 4 (三衣=3+9 x 22 xx 2 4x2 2x +1 Z4 x 3、 (10) p-十(1+E)(11)三十(x + 2丄)x2x2(12) ( a 2 + b 2 +2) aba 2 b 2a b(13)(14)(
11、x 1x 24x + 4x 2 16x 2 + 4 xx + 2x 14 x(15)计算：()一，并求当x = 3时原式的值.x 22 x x 24 x + 4x【错题警示】一、错用分式的基本性质1错解:原式例11化简产+7分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”， 而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式的基本性质.正解:原式（_刃昶（卜+刃芯二、错在颠倒运算顺序-计算1一盘l-a3-a=一1 总）=1错解：原式1一尬分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误 1_ -a _1正解：原式1一圧i三、错在
12、约分xl例1 当疋为何值时，分式-张+ 2有意义？_x-1_1错解原式1）（ 2.由忑一2h 得xh 2.x-1时，分式乳-张+2有意义.解析上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式S1），扩大了未知数的取值范围，而导 致错误.正解由“ 一 + 20得忑工1且忙工2.x 1二当XH1且“2,分式x2-3x + 2有意义.四、错在以偏概全1- 例2疋为何值时，分式 x + 1有意义？错解当x+1hO,得心1.当*一1,原分式有意义.解析上述解法中只考虑疋+ 1的分母，没有注意整个分母 X + 1,犯了以偏概全的错误.正解忑+ 1工0,得T,1-丄工0由 x + 1 ，得疋H 0.当且
13、2-1时，原分式有意义五、错在计算去分母例3 计算尬+1.错解原式=3一1）3 + 1）一/解析上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.正解原式说+1圧+1_盘2_ 盘 2_a + 1a+ .六、错在只考虑分子没有顾及分母x - 2例4 当疋为何值时，分式（+疋-6的值为零.错解由k卜2=,得*2.当卞=2或时，原分式的值为零.解析当x = 2时，分式的分母” +疋-拆=0，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不 能为零的条件.正解由闵一2= ，得疋=土2.由 x + x- 60，得 xh-3 且当x = 2时，原分式的值为零.七、错在“且”与“或”的用法例7疋为何值时，分式/-疋-2有意义错解：要使分式有意义，X须满足 ha,即（1）0 + 2） *0.由得忑h1，或由忑+ 2工得xh 2
