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1、一、空间直角坐标系的建立的罕见方法之蔡仲巾千创作运用“坐标法”解答空间几何体问题时,往往需要建立空间直角坐标 系.依据空间几何体的结构特征,充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系,是解决问题的基础和关键.一、利用共顶点的互相垂直的三条棱建系2例1、在正方体ABCDA B,C D中,点M是棱AA,的中点,点O是对角线BD,的中点.(I) 求证:OM为异面直线AA,和BD,的公垂线;(II) 求二面角MBCB,的大小;例图,在直三棱柱ABC - ABC中, 1 1 1AB=1,AC = AA =君,/ABC=60 0.1(I )证明:AB 1 AC ;1(11)求二面角A ac
2、B的大小。1二、利用线面垂直关系建系例3、已知三棱锥PABC中,PA面ABC,ABAC,PA=AC=1 AB,N 为 AB 上一点,AB=4AN, 2M,S分别为PB,BC的中点.(I) 证明:CMSN;(II) 求SN与平面CMN所成角的大小.卜E例4、如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的_平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=*2,CE=EF=1.(I) 求证:入平面BDE;(II) 求证:CF平面BDE;(III) 求二面角A-BE-D的大小。例5、如图,在三棱锥p-ABC中 ,AC=BC=2,ZACB = 90, AP = BP = AB, PC AC (I) 求证:pc AB
3、 ;(II) 求二面角B- AP-C的大小;(III) 求点C到平面APB的距离.例6 如图2,在三棱柱ABC-A B C中,、111AB正面BB1C1C,E为棱CC1上异于C、R的一点EAEB .已知ab = J2,BB =2,BC=1,ZBCC =兰.111C三、利用面面垂直关系建系求二面角A-EB1-A1的平面角的正切值.正面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD.(1)证明AB平面VAD;例7、如图3,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值.z例8、在直三棱柱ABC - ABC中, 1 1 1AB=BC,D、E分别为bb,AC】的中点
4、.(1) 证明:ED为异面直线bb 1与AC1的公垂线;(2) 设 AA,= AC = 42AB, 求二面角a, -AD - C, 的大小.例9、四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,正面SBC底面ABCD。已知ZABC = 45AB = 2, BC=很,SA = SB=、.3。(I )证明:SABC; (II)求直线SD与平面SAB所成角的大小;例10、如图,直三棱柱abc - ABC中,i i 1AC = BC,AA= AB,D 为 BB 的中点,E 为 AB 上 的一点 ,AE = 3EB -(I) 证明: DE 为异面直线431与CD的公 垂线;(II) 设异面直线AB与CD
5、的夹角为45,1四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例11已知正四棱锥V-ABCD中,E为VC中点,正四棱锥底面边长为2a,高为h.(1)求ZDEB的余弦值;A(2)若BEVC,求ZDEB的余弦值.ECB3.求二面角Ai - ACi -Bi的大小.二、求平面的法向量法向量的定义:如果向量a 1平面a,那么向量a叫做平面a的法向量。平面的法向量共有两大类(从方向上分),且有无数条。方法:1、找现成的面的垂线;2、不定方程组法:设平面a的法向量为n = (x, y, z),a = (X , y , z 和 = (x , y , z )是平面a内的2个相 i i i222交向量,由篇-a = 0可得一个含x, y,z的不定方程组,然后在x, y,z中任取一个好算的值n - b = 0(一般不克不及取0)即可得一个法向量。3、矢量积法:n = a x b注意:z1 z2yi七z1 z2x1x2z1 z2x1x2y1 y(y z - y z , x z - x z , x y - x y )1 22 12 11 21 22 1a x b与a, b都垂直,而且按a,b,a x b这个顺序构成右手系。