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1、课时规范练5函数的单调性与最值一、选择题1.若函数y=ax与y=-在(0,+)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+)上()来源:A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增答案:B解析:因为函数y=ax与y=-在(0,+)上都是减函数,所以a0,b0,则y=ax2+bx的对称轴方程x=-0.故y=ax2+bx在(0,+)上为减函数,选B.来源:2.已知f(x)=是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为()A.(1,+)B.4,8)C.(4,8)D.(1,8)答案:B来源:解析:由题意得即4a8,故选B.3.“函数f(x)在0,1上单调”是“函数f(x)在0,1上有最大值”的()A.
2、必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件答案:B解析:函数f(x)在0,1上单调,则函数f(x)在0,1上有最大值,而函数f(x)在0,1上有最大值,则f(x)在0,1上不一定单调,故选B.4.函数f(x)=的最大值为()A.B.C.D.1答案:B解析:当x=0时,y=0;当x0时,f(x)=,因为2,当且仅当,即x=1时等号成立,故0f(x),则0f(x).故f(x)的最大值为.故选B.5.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数,则()A.f(-25)f(11)f(80)B.f(80)f(11)f(-25)C.
3、f(11)f(80)f(-25)D.f(-25)f(80)f(0)=0.所以-f(1)0,即f(-25)f(80)f(11),故选D.6.已知函数y=f(x)的图象关于x=1对称,且在(1,+)上单调递增,设a=f,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.bacC.bcaD.abc答案:B解析:a=f=f,b=f(2),c=f(3),又f(x)在(1,+)上单调递增,f(2)ff(3),即ba0,且6,解得01,函数f(x)的单调递减区间为.11.函数y=-(x-3)|x|的单调递增区间是.答案:解析:y=-(x-3)|x|=作出该函数的图象如图,观察图象知递增区
4、间为.三、解答题12.设函数f(x)是奇函数,并且在R上为增函数,当0时,f(msin )+f(1-m)0恒成立,求实数m的取值范围. 解:f(x)是奇函数, f(msin )-f(1-m)=f(m-1).又f(x)在R上是增函数,msin m-1,即m(1-sin )1,当0时恒成立.当=时,mR;当0时,m,01-sin 1,1.m1.13.已知函数f(x)=a-.(1)求证:函数y=f(x)在(0,+)上是增函数;(2)若f(x)2x在(1,+)上恒成立,求实数a的取值范围.(1)证明:当x(0,+)时,f(x)=a-,设0x10,x2-x10.f(x1)-f(x2)=0.f(x1)f(
5、x2),即f(x)在(0,+)上是增函数.(2)解:由题意a-2x在(1,+)上恒成立,设h(x)=2x+,则ah(x)在(1,+)上恒成立.可证h(x)在(1,+)上单调递增.故ah(1),即a3,a的取值范围为(-,3.14.函数f(x)=在区间(-2,+)上是递增的,求实数a的取值范围.解:f(x)=+a.任取x1,x2(-2,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=.函数f(x)=在区间(-2,+)上是递增的,f(x1)-f(x2)0,x1+20,x2+20,1-2a,即实数a的取值范围是.15.讨论函数f(x)=x+(a0)的单调区间.解:任取x1,x2(0,+),且x10,f(
6、x2)-f(x1)=(x2-x1).当0x1x2时,有0x1x2a,x1x2-a0.f(x2)-f(x1)0,即f(x)在(0,上是减函数.当x1a,x1x2-a0.f(x2)-f(x1)0,即f(x)在,+)上是增函数.函数f(x)是奇函数,函数f(x)在(-,-上是增函数,在-,0)上是减函数.综上,f(x)在区间(-,-,+)上为增函数,在-,0),(0,上为减函数.四、选做题1.定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x(0,1时单调递增,则()A.ff(-5)fB.fff(-5)C.fff(-5)来源:D.f(-5)ff答案:B解析:f(x+2)=f(x),f(
7、x)是以2为周期的函数,又f(x)是偶函数,f=f=f,f(-5)=f(5)=f(4+1)=f(1),函数f(x)在(0,1上单调递增,fff(1),即fff(-5).2.设x1,x2为方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根,当m=时,有最小值.答案:-1解析:由根与系数的关系得:x1+x2=m,x1x2=,=(x1+x2)2-2x1x2=m2-.又x1,x2为实根,0,m-1或m2.y=在区间(-,-1上是减函数,在2,+)上是增函数,来源:又该函数对应的抛物线开口向上且以m=为对称轴,故m=-1时,ymin=.3.若,是方程4x2-4kx-1=0(kR)的两个不等实根,函数f(x)=的定义域为,.(1)判断函数f(x)在定义域内的单调性,并证明;(2)记g(k)=f(x)max-f(x)min,若对任意kR,恒有g(k)a成立,求实数a的取值范围.解:(1)设x1x2,则4-4kx1-10,4-4kx2-10,4()-4k(x1+x2)-20,2x1x2-k(x1+x2)-k(x1+x2)-2x1x2+0,f(x2)-f(x1)0,故f(x)在区间,上是增函数.(2)g(k)=f()-f()=a恒成立.a=1+,考虑的最大值为,a.
