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1、专题4 几何证明【知识要点】 1.进一步掌握直角三角形的性质，并能够熟练应用； 2.通过本节课的学习能够熟练地写出较难证明的求证； 3.证明要合乎逻辑，能够应用综合法熟练地证明几何命题。【概念回顾】 1.全等三角形的性质：对应边（ ），对应角（ ）对应高线（ ），对应中线（ ），对应角的角平分线（ ）。 2.在RtABC中，C=90，A=30，则BC：AC：AB=（ ）。 【例题解析】【题1】已知在ABC中，ABAC，BD平分求证：BCABCD 【题2】如图，点为正方形的边上一点，点为的延长线上的一点，且求证：. 【题3】如图，AD为ABC的角平分线且BDCD求证：ABAC. 【题4】已知：如
2、图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，ABED，ACFD，证明AB=DE，AC=DF. 【题5】已知：如图，ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA3，PB4，PC5APCB求：APB的度数 【题6】如图：ABC中，ACB=90，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足是F，过B作BDBC交CF的延长线于D。（1） 求证：AE=CD;（2） 若AC=12，求BD的长. 【题7】等边三角形CEF于菱形ABCD边长相等. 求证：（1）AEF=AFE (2)角B的度数 【题8】如图，在ABC中，C=2B，AD是ABC的角平分线，1=B，求证：AB=AC+CD. 【题9】如图，在
3、三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F.求证：AF=FC 【题10】如图，将边长为1的正方形ABCD绕点C旋转到ABCD的位置，若BCB=30度，求AE的长.【题11】AD,BE分别是等边ABC中BC,AC上的高。M,N分别在AD,BE的延长线上，CBM=ACN.求证AM=BN.【题12】已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在AD上，且AE=DF，ABEDCF.求证：BECF.【巩固练习】 【练1】 如图，已知BE垂直于AD，CF垂直于AD，且BE=CF.（1） 请你判断AD是三角形ABC的中线还是角平分线？请证明你的结论。
4、（2） 链接BF,CE，若四边形BFCE是菱形，则三角形ABC中应添加一个什么条件？ 【练2】在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边上的一个动点，且PB=PD，DE垂直AC，垂足为E。（1） 求证：PE=BO（2） 设AC=3a，AP=x，四边形PBDE的面积为y，求y与x之间的函数关系式。 【练3】已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点，AD，BC的延长线叫MN与E、F 求证DEN=F. 【练4】如图，若C在直线OB上，试判断CDM形状。 【练5】已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边向形外作等腰直角三角形。求证：EF=
5、2AD1、 【练6】如图，等边三角形ABC的边长为2，点P和点Q分别是从A和C两点同时出发，做匀速运动，且他们的速度相同，点P沿射线AB运动，Q点沿点C在BC延长线上运动。设PQ与直线AC相交于点D，作PEAC于点E，当P和Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。【提示】【题1】分析：在上截取，连接可得BADBED由已知可得：，CDCE，BCABCD【题2】分析：将ABF视为ADE绕顺时针旋转即可又，ABFADE（）【题3】分析：延长到使得易证ABDECD【题4】本题比较简单，难点在BF+CF=CE+CF这，一般刚接触三角形证明的人会在这失手。证明：BF=CE 又BF+CF=BC CE
6、+CF=EF BC=EF ABDE，ACFD B=E，DFE=BCA 又BF=CE DEFABC（ASA） AB=DE，AC=DF 【题5】顺时针旋转ABP 600 ，连接PQ ，则PBQ是正三角形。 可得PQC是直角三角形。 所以APB=1500 。 【题6】解析：如果遇到这类题，有时在图形中隐藏着一些不明显的条件，你就先试试一个角加公共角等于90，再试其它角加这个公共角是否能等于90，能说明它俩相等。 证明：（1）BDBC，CFAE DBC=ACB=EFC=90 D+BCD=90 FEC+BCD=90 D=FEC 又DBC=ACE=90，AC=BC DBCACE（HL） AE=CD（2）由
7、（1）可知 BDCACE BC=AC=12，BD=CE AE是BC边上的中线 BE=EC=BC=6 BD=CE BD=6【题7】解： CB=CE,CD=CF B=CEB，D=CFD B=D(菱形的对角相等） CEB=CFD CEF=CFE=60 CEB+CEF+AEF=180 CED+CFE+AFE=180 AEF=AFE (2)设B=X,则A=180X，CEB=X AEF=AFE,A=AEF+AFE=180 (180X ) +2AEF=180 AEF=X/2 CEB+CEF+AEF=180 X+60+X/2=180 X=80 B=80 【题8】解析：这种类型的题，一般是一条长的线段被分为两段
8、，只能证AC、CD这两条线段与AB这条线段平分的两条线段AE、BE相等，从而证明出来。 证明：AED是EDB的一个外角 又1=B AED=2B AED=C=2B AD是ABC的角平分线 CAD=DAE 又AED=C，AD=DA ACDAED（AAS） AC=AE，CD=DE 1=B DE=BE CD=BE AB=AE+BE 又AC=AE，CD=BE AB=AC+CD【题9】解析：作CF的中点G，连接DG，则FG=GC 又BD=DC DGBF AEED=AFFG AE=ED AF=FG = 即AF=FC【题10】提示：证明三角形ABD和三角形CAF全等。AEBD四点共圆。四边形EDCF是平行四边形。（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 【题11】 证明：因为ABC为等边三角形，AD垂直于BC、BE垂直于AC， 所以 BAM=CBN ， 又因为CBM=ACN 所以ABM=BCN 在ABM和BCN中，有AB=BC BAM=CBN ABM=BCN 由三角形全等的判定ASA得 ABM和BCN全等 所以 AM=BN【题12】分析： 要证明BECF，只要证明EF；已知ABEDCF，又由三角形的外角性质可知EBAOABE，FCDODCF，因此只要证明BAOCDO.
