《高考数学全面突破-最新一轮复习必考题型巩固提升学案：8.5直线、平面垂直的判定及其性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学全面突破-最新一轮复习必考题型巩固提升学案：8.5直线、平面垂直的判定及其性质（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.5直线、平面垂直的判定及其性质考情分析近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体,复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定 作为考察重点，在难度上也始终以中等偏难为主。基础知识1判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂 直于另一条；垂直于同一平面的两条直线平行。2 .线面垂直：定义：如果一条直线 l和一个平面a相交，并且和平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l和平面.a互相垂直其中直线 l叫做平面的垂线，平面a叫做直 线l的垂面，直线与平面的交点叫做垂足。直线 l与平面a
2、垂直记作：1，如直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。3 .面面垂直：两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直(线面垂直面面垂直)。两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面(面面垂直线面垂直)。注意事项1 .垂直问题的转化关系判定判定线线垂直面面垂直线面垂直性质性质2.(1)证明线线垂直的方法定义
3、：两条直线所成的角为90 ;平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：a a, b? ? ab;线面垂直的性质：a a, b / o? a b.(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定义：a与a内任何直线都垂直？ a, a；m、n? a, mA n= A判定定理1:?吐a；l m, l n判定定理2： a/b, a a? b a;面面平行的性质:alla_Lo?a_L3；面面 垂直的性质：a_L 8 ad 3= l, a? a, a_Ll? a_L 3(3)证明面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a? % a仅n题型一直线与平面垂直的判定与性质【例1】下列命
4、题中错误的是()A.如果平面平面3,那么平面a内一定存在直线平行于平面3B,如果平面a不垂直于平面 &那么平面 a内一定不存在直线垂直于平面3C.如果平面 a_L平面 %平面吐平面 % aCl 3= 1,那么l_L平面 丫D.如果平面平面3,那么平面a内所有直线都垂直于平面3答案：D解析：对于命题A,在平面a内存在直线1平行于平面a与平面3的交线，则1平行于 平面3,故命题A正确.对于命题B ,若平面a内存在直线垂直于平面8则平面a与平面3垂直，故命题B正确.对于命题 C,设加产m, 3n尸n,在平面 丫内取一点P不在1上，过P作直线a, b, 使 a,m, bn.da, am,则 a, ”，
5、.-.all,同理有 b 1.又 aAb=P, a? T, b? %，1，下故命题 C 正确.对于命题D,设aCl )= 1 ,则1? a, 0 1 ? 3.故在a内存在直线不垂直于平面氏即命题D错误，故选D.【变式1】如图，由 用 B已知BD，平面ABC,MC统融，AC=BC, N是棱AB的中点.求证：CNXAD.证明 BD，平面 ABC, CN?平面 ABC,. BDXCN.又AC=BC, N是AB的中点. CNXAB.又 BDA AB=B, .CNL平面 ABD.而AD?平面ABD, CNXAD.题型二平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图，在三棱锥 DABC中，若AB=BC, AD =
6、 CD , E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是 .答案：垂直AD = DC解析：AB=BC? DEXAC且 BELAC.故 AS平面 BDE.故平面E为AC的中点ADCL平面 BDE.变式2】如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB = AD= 1 , AA1=2, M 是棱 CC1 的中点.证明：平面 ABML平面AiBiM.证明 AiBi,平面 BiCiCB, BM?平面 BiCiCB, /. AiBiXBM , 由已知易得BiM = 42,又 BM=，BC2+CM2 =V2, BiB = 2, .BiM2 + BM2=BiB2, -BiMlBM.又AiBi A B
7、iM = Bi,，BM，平面 AiBiM.而BM?平面ABM ,平面 ABM，平面 AiBiM.考向三 平行与垂直关系的综合应用【例3】已知平面 3和直线1m,给出下列条件：m/ a； m a； m? a； a 3； a/ 3(1)当满足条件 时，有m/ 8(2)当满足条件 时，有m, &填所选条件的序号).答案：(2)解析：(1)8 m? a,(2) .1 a/ 3, m_L a,【变式3】如图,正方形ABCD和四边形 ACEF所在的平面互相垂直，EF/AC, AB = 72, CE = EF = 1.(1)求证：AF/平面.BDE;(2)求证：CF,平面BDE.证明 设AC与BD交于点G.
8、1因为 EF/AG,且 EF=1, AG=2AC=1.所以四边形AGEF为平行四边形, 所以AF / EG.因为EG?平面BDE, AF?平面BDE,所以AF /平面BDE.(2)如图，连接FG.因为EF / CGEF = CG=1且 CE= 1所以四边形CEFG为菱形.所以CFXEG.因为四边形ABCD为正方形，所以 BDXAC.又因为平面ACEF，平面ABCD,且平面 ACEFA平面 ABCD = AC, 所以BD，平面ACEF.所以CFXBD.又 BDn EG = G.考向四线面角所以CF，平面BDE.【例4】如图，四棱锥 PABCD的底面是正方形，PD，底面ABCD,点E在PB上.(1
9、)求证：平面 AEC，平面 PDB;(2)当PD=V2AB,且E为PB的中点时，求 AE与平面PDB所成的角的大小.(1)证明 二.四边形ABCD是正方形， .AC，BD.PDL底面 ABCD, .PDAC.又 PD A BD = D, AC，平面 PDB.又AC?平面AEC 平面 AEC,平面 PDB.(2)解设 AC ABD = O,连接 OE.由知,AC,平面PDB于点O, / AEO为AE与平面PDB所成的角. 点 O、E 分别为 DB、PB 的中点，OE/PD,且 OE = ；PD.又 PDL底面 ABCD,OEL底面 ABCD,. OEXAO.12在 RtAOE 中，OE=2PD=
10、AB = AO, .AEO = 45.即AE与平面PDB所成的角为45.方法总结“求直线与平面所成的角，一般分为两大步:(1)找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成;(2)计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.ZACB=120, P, Q 分别【训练4】如图，已知 DC，平面 ABC, EB/DC, AC = BC= EB= 2DC = 2,为AE, AB的中点.证明：PQ/平面ACD;(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.证明 因为P, Q分别为AE, AB的中点，所以PQ/ EB.又 DC/ EB,因此 PQ/ DC, PQ?平面 ACD , DC?平面 A
11、CD,从而 PQ/平面 ACD.(2)解如图，连接CQ, DP.因为Q为AB的中点，且AC=BC,所以CQ AB.因为 DC,平面 ABC, EB/DC,所以EBL平面ABC.因此 CQ EB,又 ABAEB = B,故CQL平面ABE.,，_ 一 _1由(1)有 PQ / DC,又 PQ = 2EB=DC,所以四边形CQPD为平行四边形，故 DP / CQ,因此DPL平面 ABE, / DAP为AD和平面 ABE所成的角,5在 RtDPA 中，AD =由，DP=1, sin Z DAP =-.因此AD和平面ABE所成角的正弦值为.155 .重难点突破l仞y 4如图,在四棱锥 PABCD中，平
12、面 PAD，平面 ABCD, AB=AD, / BAD = 60, E, F分别是 AP,AD的中点.求证：(1)直线EF /平面PCD;(2)平面BEF，平面 PAD.解析在 PAD中，因为 E, F分别为AP, AD的中点，所以 EF / PD.又因为EF?平面PCD, PD?平面PCD,所以直线 EF/平面PCD.(2)如图，连结BD.因为 AB=AD, / BAD =60,所以 ABD为正三角形.因为F是AD的中点，所以BFXAD.因为平面 PAD，平面 ABCD, BF?平面ABCD ,平面PAD n平面 ABCD = AD,所以BFL平 面 PAD.又因为BF?平面BEF,所以平面
13、 BEFL平面 PAD.巩固提高1 .已知m是平面a的一条斜线，点 A? a, l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()A. lm,UaB. l m, l aC. lm, l / aD. l / m, l / a答案：C解析：设m在平面a内的射影为n,当ln且与a无公共点时，l,m, l / a2 .设a, 3为不重合的平面， m, n为不重合的直线，则下列命题正确的是()A.若 a，3, aA 3= n, m，n,则 m8 .若 m? a, n? 3, mn,则 n，aC.若 n a, n 氏 m &贝U m aD.若 m II % n & m,n,则 a 3答案：C解析：与a、
14、3两垂直相交平面的交线垂直的直线m,可与a平行，故A存在n/a情况，故B错；D,存在a/3情况，故D错.由n1 a, n氏可知；对于B,II 3,又 mX3,所以m a,故C正确，选C.3.平面“上平面3的一个充分条件是（）A.存在一条直线l, l a, l 3B.存在一个平面飞丫/ a, 丫/ 3C.存在一个平面飞 d & y-L 3D.存在一条直线l, l a, l/ 3答案：D解析：由A项可推出all 3；由B项可推出all 3；由C项可推出a/3或小，3的充分条件.故应选 D.4.如图，已知六棱锥则下列结论正确的是（P ABCDEF的底面是正六边形， PAL平面 ABCDEF,3,均不是aPA=2AB,A. PAXADB.平面ABCDEF，平面 PBCC.直线BC/平面PAED.直线PD与平面ABCDEF所成的角为30答案：A解析：因为PA，平面ABCDEF,所以PAXAD,故A正确；B项中两个平面不垂直； C项中，AD与平面PAE相交，BC/AD,故C错；D项中，PD与平面 ABCDEF所成的
