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1、高考数学专题70分解答题标准练(二)1 .在4ABC 中，边 BC 上一点 D 满足 ABAD, AD=/3dC.若BD=2DC = 2,求边 AC的长；(2)若 AB = AC,求 sin B.2 .如图，在斜三棱柱 ABC AiBiCi中，已知/ BiCiAi=90,异面直线 ABiXAiC,且 AAi =AC.(i)求证：平面 ACCiA平面 AiBiCi;(2)若ACi = AAi=BiCi,求直线 AiCi与平面ABB iAi所成角的正弦值.3 .在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1 ： 3,且成绩分布在40,100内，分数在80以上(含80)的同学获奖.
2、按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图(见下图).(1)填写下面的 2X2列联表，判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？文科生理科生总计获奖5小获奖总计200(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中， 任意抽取3名学生，记“获2 n ad bc附表及公式：K2=奖”学生人数为 X,求X的分布列及期望.,n=a+b+c+ d.a+ b c+ d a+ c b+d其中 n= a+ b+ c+ d.P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.635
3、7.879x2 y2一4 .已知椭圆 C： 1+?= 1(ab0)的左焦点为 F(c,0),右顶点为 A,点E的坐标为(0, c), EFA的面积为竽，过点E的动直线l被椭圆C所截得的线段 MN长度的最小值为436.求椭圆C的方程；.7(2)B是椭圆C上异于顶点的一点，且直线 OB,l, D是线段OB延长线上一点，且|DB尸七5|MN|, O D的半径为|DB|, OP, OQ是。D的两条切线，切点分别为P, Q,求/ POQ的最大值，并求出取得最大值时直线l的斜率.5.已知函数f(x) =3- x ex+a当a 3时，判断函数f(x)的单调性;4(2)当f(x)有两个极值点时，若 f(x)的
4、极大值小于整数 m,求m的最小值.6 .在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为x = 2cos 0, y= sin 0(。为参数)，直线l的极坐标方程为2cos 0 2sin 0(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程，并求出曲线C上到直线l的距离最大的点 P的坐标；(2)求曲线C的极坐标方程，并设 A, B为曲线C上的两个动点，且 OA OB = 0,求|品|2的取值范围.7 .设函数 f(x)=|2x+ 1|+2|x-a|.若a=2,试求f(x)6的解集；(2)若a0,且关于x的不等式f(x)0,sin BT2 .如图，在斜三棱柱 ABC A
5、iBiCi中，已知/ BiCiAi=90,异面直线 ABiXAiC,且 AAi =AC.(i)求证：平面 ACCiAi,平面 AiBiCi;(2)若ACi = AAi=BiCi,求直线 AiCi与平面ABB iAi所成角的正弦值.(i)证明 因为AAi = AC,所以四边形ACCiAi是菱形，所以 AiCXACi,又因为异面直线 ABiXAiC, ACiAABi = A,ABi， ACi? 平面 AB iCi ，所以AiC,平面ABiCi,又 BiCi? 平面 ABiCi ，所以 AiCXBiCi.又因为 / BiCiAi=90,即 BiCiXAiCi,且 AiCin AiC=Ai, AiC,
6、 AiCi?平面 ACCiAi,所以BiCi,平面ACCiAi,又 BiCi? 平面 AiBiCi，所以平面ACCiAi，平面AiBiCi.(2)解设。是AiCi的中点,因为 ACi = AAi,所以 AOXAiCi ,由可知，AOL平面AiBiCi,以。为坐标原点，过点 O且与CiBi平行的直线为x轴,以OCi所在直线为y轴，以OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz,设 AAi= 2,则 A(0,0,a Ai(0, i,0),Ci(0,i,0), Bi(2,i,0),设AiCi与平面ABBiAi所成的角为 以因为 AiCi= (0,2,0), AiBi = (2,2,0), AiA
7、= (0,i, 3),设平面 ABB iAi的一个法向量是 n=(x, y, z),2x+2y= 0,y + V3z=0,AiBi n = 0, 则AiA n=0,不妨令x=i,则 y=1, z=害，可得 n= 1, 1,粤，所以 sin 0= |cos A1C1,7 ，所以直线A1C1与平面ABB 1A1所成角的正弦值为 中.3 .在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1 ： 3,且成绩分布在40,100内，分数在80以上(含80)的同学获奖.按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图(见下图).(1)填写下面的 2X2列联表，判断
8、能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？文科生理科生总计获奖5小获奖总计200(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中， 任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为 X,求X的分布列及期望.附表及公式:K2=n ad bc 2a+ b c+ d a+ c b+dn= a+ b+ c+ d.其中 n= a+ b+ c+ d.P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879文科生理科生总计获奖53540小获奖45115160总计501502002 200 X 5X 11535X 45
9、 2 25K =50X 150X40X 160 = 6 4.1673.841 ,所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关（2）由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概1率为工 5X的所有可能的取值为0,1,2,3,且XB 3, 5 .5P（X=k）=c3x 5 kx 1 -5 3 k（k=0,1,2,3）.010,.43064p（x=0）=c3x5x53 0=,11243 1 48P（X=1）=C3x512 y24.已知椭圆 C： 3+?=1(ab0)的左焦点为 F(-c,0),右顶点为 A,点E的坐标为(0, c),5=建，212、/41 1
10、2P（X=2）=C2x 52X 5 1 =.，313、/40 1P（X=3）=C3X53x50= -所以x的分布列为X0123P64125481251212511251 3E（X） = 3X5=5. EFA的面积为2s过点E的动直线l被椭圆C所截得的线段 MN长度的最小值为436.求椭圆C的方程；7(2)B是椭圆C上异于顶点的一点，且直线 OB，l, D是线段OB延长线上一点，且|DB| = |MN|, O D的半径为|DB|, OP, OQ是。D的两条切线，切点分别为 P, Q,求/ POQ的最 大值，并求出取得最大值时直线 l的斜率.解(1)由已知，可得2(c+ a)c= y.又由 b2
11、= a2 -c2,可得 2c2+aca2=0,解得 a=2c,x2 y2设椭圆C的方程为4/+3c2=1,当直线l的斜率不存在时，线段 MN的长为2#c；当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+c,x224?+ 3c2=1，C CC由得(4k2+3)x2+8kcx 8c2= 0,y= kx+ c,A= (8kc)2 + 32c2(4k2 + 3)0 ,从而 |MN| = /k2+ 1 , F 44k2+34V6c 7k2+12k2+14k2+34k2+4 4k2 + 24k2+ 3 21一 卷 3时，判断函数f(x)的单调性;(2)当f(x)有两个极值点时，若 f(x)的极大值小于整数 m,求m的最小值.解(1)由题意知,k2+e + 3 xex 3 xe a r - 74 6- k2+1 ;2k2+1 54k2+32+25
