《专题一函数与导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题一函数与导数（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、夷陵中学2013届高三重点班重点难点突破专题一 函数与导数题型一利用导数求解函数的单调性问题【例1】已知函数f(x)x3ax2x1，aR()讨论函数f(x)的单调区间；()设函数f(x)在区间(，)内是减函数，求a的取值范围【解】()由f(x)x3ax2x1，求导得f(x)3x22ax1，当a23时，4(a23)0，f(x)0，f(x)在R上递增，当a23，f(x)求得两根为x，则函数f(x)在区间(，)上递增，在区间(，)上递减，在区间(，)上递增.()由()得，且a23，解得a2.【例2】已知函数，其中为参数，且（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围
2、；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围解（）当时，则在内是增函数，故无极值.（），令，得.由（），只需分下面两种情况讨论. 当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：x0+0-0+极大值极小值因此，函数在处取得极小值，且.要使，必有，可得.由于，故.当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：+0-0+增极大值减极小值增因此，函数处取得极小值，且若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组 或 由（
3、II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.综上，解得或.所以的取值范围是.题型二 导数与切线问题【例3】已知函数f (x)=ax3+bx23x在x=1处取得极值.（）求函数f (x)的解析式；（）求证：对于区间3，2上任意两个自变量的值x1，x2，对于任意一个正实数a都有|f (x1)f (x2)|；（）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.解：（I）f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0，即 解得a=1，b=0. f (x)=x33x. （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，利用导数求
4、得f(x)在区间3，2上的最大值和最小值分别为：fmax(x)=f(1)=f(2)=2，fmin(x)=f(-3)=18对于区间3，2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)|f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(18)=20由条件可得，当且仅当时，等号成立，即恒成立，对于任意一个正实数a都有|f (x1)f (x2)|. （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲线方程为y=x33x，点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.过点A（1，m）可作曲线的三条
5、切线，关于x0方程=0有三个实根.设g(x0)= ，则g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减.函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1 关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得3m2.故所求的实数a的取值范围是3m0，得。 令，并由，解得 列表分析：（0，1）1（1，+）0+递减极小值0递增 知在处取最小值， （）当时，在且x1时，在（0，+）上只有一个解，即当方程有唯一解 （）当时，在且x1时，在（0，+）上无实数解， 即当方程的解的个数为零. （）当时，又，故函数在区间上有一个零点；由（2） 0故
6、函数在区间上有一个零点,时，在（0，+）上有两个实数解，即方程的解的个数为2 综上 ： 方程的解的个数为：时一个，时0个，时2个 【例10】已知函数f(x)=x(xa)(xb)，点A(m,f(m)，B(n,f(n) (1)设b= a，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)的导函数满足：当|x|l时，有|恒成立，求函数f(x)的表达式； (3)若0ab，函数f(x)在x=m和x=n处取得极值，且a+b2问：是否存在常数a,b，使得=0? 若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由1） 令， 得：，当时， 所求单调增区间是，单调减区间是（，）当时，所求单调增区间是， 单调减区间是（，）
7、当时， 所求单调增区间是（2） 当时，恒有 即得此时，满足当时恒成立（3）存在使得若，即 由于，知 由题设，是的两根 ， 代入得：，当且仅当时取“” 又， ，题型七 导数与恒成立问题【例11】设，函数 .()求函数 的单调区间；()当时，函数取得极值，证明：对于任意的 .解：() 当时，恒成立，在上是增函数； 当时，令，即，解得.因此，函数在区间 内单调递增，在区间 内也单调递增.令，解得.因此，函数在区间 内单调递减. （）当时，函数取得极值，即 ，由()在单调递增，在单调递减，单调递增.在时取得极大值；在时取得极小值，故在上，的最大值是，最小值是；对于任意的 题型八导数与不等式【例12】已
8、知函数 （I）求的极值；（II）若的取值范围； （III）已知【解】：（）令得 当为增函数；当为减函数，可知有极大值为 （）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，设由（）知， （），由上可知在上单调递增， ， 同理 两式相加得 【例13】已知函数（1）时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若在区间上的最大值为-1，求的取值；（3）若对任意，且恒成立，求的取值范围。解析：（1）当时，曲线在点处的切线方程为：.（2）函数的导函数为，令得，所以函数在上单调递增;令得，所以函数在上单调递减.当，即时，在区间上的最大值为，由得，符合题意；当，即时，在区间上的最大值为，由得，不符合题意，舍去；当，即时，在区间上的最大值为，由，得，不符合题意，舍去.综上所述， .（3）设，则，只要在上单调递增即可.而，所以只需在上恒成立即可.因为，所以只需在恒成立即可. 即即可.而当且仅当即时，最小值为所以，即的取值为.【例14】已知函数（1）为定义域上的单调函数，求实数的取值范围（2）当时，求函数的最大值（3）当时，且，证明：【解】：（1）， 因为对，有不存在实数使，对恒成立 由恒成立，而，所以经检验，当时，对
