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1、01背包01背包解析和程序问题描述 在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2Wn，与之相对应的价值为P1,P2Pn。求出获得最大价值的方案。 注意：在本题中，所有的体积值均为整数。 算法分析： 对于背包问题，通常的处理方法是搜索。 用递归来完成搜索，算法设计如下： function Make( i 处理到第i件物品 , j剩余的空间为j:integer) :integer; 初始时i=m , j=背包总容量 begin if i:=0 then Make:=0; if j=wi then (背包剩余空间可以放下物品 i ) r1:=Make(i-1,j-wi)+v;
2、 (第i件物品放入所能得到的价值 ) r2:=Make(i-1,j)(第i件物品不放所能得到的价值 ) Make:=maxr1,r2 end; 这个算法的时间复杂度是O(2n)，我们可以做一些简单的优化。 由于本题中的所有物品的体积均为整数，经过几次的选择后背包的剩余空 间可能会相等，在搜索中会重复计算这些结点，所以，如果我们把搜索过程中计算过的结点的值记录下来，以保证不重复计算的话，速度就会提高很多。这是简单?quot;以空间换时间。 我们发现，由于这些计算过程中会出现重叠的结点，符合动态规划中子问题重叠的性质。 同时，可以看出如果通过第N次选择得到的是一个最优解的话，那么第N-1次选择的结
3、果一定也是一个最优解。这符合动态规划中最优子问题的性质。 考虑用动态规划的方法来解决，这里的： 阶段是：在前N件物品中，选取若干件物品放入背包中； 状态是：在前N件物品中，选取若干件物品放入所剩空间为W的背包中的所能获得的最大价值； 决策是：第N件物品放或者不放； 由此可以写出动态转移方程： 我们用fi,j表示在前 i 件物品中选择若干件放在所剩空间为 j 的背包里所能获得的最大价值 fi,j=maxfi-1,j-Wi+Pi(j=Wi), fi-1,j 这样，我们可以自底向上地得出在前M件物品中取出若干件放进背包能获得的最大价值，也就是fm,w 算法设计如下：procedure Make; b
4、egin for i:=0 to w do f0,i:=0; for i:=1 to m do for j:=0 to w do begin fi,j:=fi-1,j; if (j=w) and (fi-1,j-w+vfi,j) then fi,j:=fi-1,j-w+v; end; writeln(fm,wt); end; 由于是用了一个二重循环，这个算法的时间复杂度是O（n*w)。而用搜索的时候，当出现最坏的情况，也就是所有的结点都没有重叠，那么它的时间复杂度是O（2n)。看上去前者要快很多。但是，可以发现在搜索中计算过的结点在动态规划中也全都要计算，而且这里算得更多（有一些在最后没有派上
5、用场的结点我们也必须计算），在这一点上好像是矛盾的。 事实上，由于我们定下的前提是：所有的结点都没有重叠。也就是说，任意N件物品的重量相加都不能相等，而所有物品的重量又都是整数，那末这个时候W的最小值是：1+2+22+23+2n-1=2n -1 此时n*w2n，动态规划比搜索还要慢|所以，其实背包的总容量W和重叠的结点的个数是有关的。 考虑能不能不计算那些多余的结点 题目有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c，价值是w。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。基本思路这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是
6、：fv=maxfv,fv-c+w这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为fv；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c的背包中”，此时能获得的最大价值就是fv-c再加上通过放入第i件物品获得的价值w。优化空间复杂度以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，
7、但空间复杂度却可以优化到O(V)。先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1.N，每次算出来二维数组f0.V的所有值。那么，如果只用一个数组f0.V，能不能保证第i次循环结束后fv中表示的就是我们定义的状态fv呢？fv是由fv和fv-c两个子问题递推而来，能否保证在推fv时（也即在第i次主循环中推fv时）能够得到fv和fv-c的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V.0的顺序推fv，这样才能保证推fv时fv-c保存的是状态fv-c的值。伪代码如下：for i=1.Nfor v=V.0fv=maxfv,fv-c+w;其中的fv=maxfv,fv-c一句恰就相当于我们的转移方
8、程fv=maxfv,fv-c，因为现在的fv-c就相当于原来的fv-c。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了fv由fv-c推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。过程ZeroOnePack，表示处理一件01背包中的物品，两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。procedure ZeroOnePack(cost,weight)for v=V.cos
9、tfv=maxfv,fv-cost+weight注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V.0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了，避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了，就可以加入优化。费用为cost的物品不会影响状态f0.cost-1，这是显然的。有了这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写：for i=1.NZeroOnePack(c,w);初始化的细节问题我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是
10、在初始化的时候有所不同。如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f0为0其它f1.V均设为-，这样就可以保证最终得到的fN是一种恰好装满背包的最优解。如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f0.V全部设为0。为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始
11、时状态的值也就全部为0了。这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。小结01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。例题一个旅行者有最多能装M公斤的背包,现有N件物品,它们的重量分别为W1,W2,W3,.Wn,它们的价值分别为C1,C2,C3.Cn。求旅行者应选哪几种物品装入背包，使包内物品的总价值最大。第一行：两个整数，m（背包容量，m=200）和n（物品数量，n
12、=30） 第2行。n+1行：每行两个整数wi和ci，表示每个物品的重量和价值仅一行，一个数，表示最大总价值Input：10 42 13 34 57 9Output：12var n,v,i,j:longint;f:array0.200of longint;w,c:array1.30of longint;beginwhile not eof do beginread(v,n);for i:=1 to n do read(w,c);fillchar(f,sizeof(f),0);for i:=1 to n dofor j:=v downto w doif fj1)and(not fk) do dec(k);writeln(v-k);end;end.
