《小学六年级数学奥数讲座共30讲含答案(19)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《小学六年级数学奥数讲座共30讲含答案(19)(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共30讲枚举法我们在课堂上遇到的数学问题,一般都可以列出算式,然后求出结果。但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目,由于找不到计算它们的算式,似乎无从下手。但是,如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来,或能被分类列举出来,那么问题就可以通过枚举法获得解决。所谓枚举法,就是根据题目要求,将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来,从而解决问题的方法。例1 小明和小红玩掷骰子的游戏,共有两枚骰子,一起掷出。若两枚骰子的点数和为7,则小明胜;若点数和为8,则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。分析与解:将两枚骰子的点数和分别为7与
2、8的各种情况都列举出来,就可得到问题的结论。用ab表示第一枚骰子的点数为a,第二枚骰子的点数是b的情况。出现7的情况共有6种,它们是:16,25,34,43,52,61。出现8的情况共有5种,它们是:26,35,44,53,62。所以,小明获胜的可能性大。注意,本题中若认为出现7的情况有16,25,34三种,出现8的情况有26,35,44也是三种,从而得“两人获胜的可能性一样大”,那就错了。例2 数一数,右图中有多少个三角形。分析与解:图中的三角形形状、大小都不相同,位置也很凌乱,不好数清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复,我们将图形的各部分编上号(见右图),然后按照图形的组成规律,把三角形分
3、成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的再一类一类地列举出来。单个的三角形有6个:1 ,2,3,5,6,8。由两部分组成的三角形有4个:(1,2),(2,6),(4,6),(5,7)。由三部分组成的三角形有1个:(5,7,8)。由四部分组成的三角形有2个:(1,3,4,5),(2,6,7,8)。由八部分组成的三角形有1个:(1,2,3,4,5,6,7,8)。总共有64121=14(个)。对于这类图形的计数问题,分类型数是常用的方法。例3 在算盘上,用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数?分析与解:上珠一个表示5,下珠一个表示1。分三类枚举:(1)两颗珠都是上珠时,可表示5005,5050,550
4、0三个数;(2)两颗珠都是下珠时,可表示1001,1010,1100,2000四个数;(3)一颗上珠、一颗下珠时,可表示5001,5010,5100,1005,1050,1500,6000七个数。一共可以表示 347=14(个)四位数。由例13看出,当可能的结果较少时,可以直接枚举,即将所有结果一一列举出来;当可能的结果较多时,就需要分类枚举,分类枚举是我们需重点学习掌握的内容。分类一定要包括所有可能的结果,这样才能不遗漏,并且类与类之间不重叠,这样才能不重复。例4 有一只无盖立方体纸箱,将它沿棱剪开成平面展开图。那么,共有多少种不同的展开图?分析与解:我们将展开图按最长一行有多少个正方形(纸
5、箱的面)来分类,可以分为三类:最长一行有4个正方形的有2种,见图(1)(2);最长一行有3个正方形的有5种,见图(3)(7);最长一行有2个正方形的有1种,见图(8)。不同的展开图共有2518(种)。例5 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门,他准备每天做一门,且相邻两天不做同一门。如果小明第一天做语文,第五天也做语文,那么,这五天作业他共有多少种不同的安排?分析与解:本题是分步进行一项工作,每步有若干种选择,求不同安排的种数(有一步差异即为不同的安排)。这类问题简单一些的可用乘法原理与加法原理来计算,而本题中由于限定条件较多,很难列出算式计算。但是,我们可以根据实际的安排,对每一步可能的选择
6、画出一个树枝状的图,非常直观地得到结果。这样的图不妨称为“枚举树”。由上图可知,共有6种不同的安排。例6 一次数学课堂练习有3道题,老师先写出一个,然后每隔5分钟又写出一个。规定:(1)每个学生在老师写出一个新题时,如果原有题还没有做完,那么必须立即停下来转做新题;(2)做完一道题时,如果老师没有写出新题,那么就转做前面相邻未解出的题。解完各题的不同顺序共有多少种可能?分析与解:与例5类似,也是分步完成一项工作,每步有若干种可能,因此可以通过画枚举树的方法来求解。但必须考虑到所有可能的情形。由上图可知,共有5种不同的顺序。说明:必须正确理解图示顺序的实际过程。如左上图的下一个过程,表示在第一个
7、5分钟内做完了第1题,在第二个5分钟内没做完第2题,这时老师写出第3题,只好转做第3题,做完后再转做第2题。例7 是否存在自然数n,使得n2n2能被3整除?分析与解:枚举法通常是对有限种情况进行枚举,但是本题讨论的对象是所有自然数,自然数有无限多个,那么能否用枚举法呢?我们将自然数按照除以3的余数分类,有整除、余1和余2三类,这样只要按类一一枚举就可以了。当n能被3整除时,因为n2,n都能被3整除,所以(n2n2)3余2; 当n除以3余1时,因为n2,n除以3都余1,所以(n2n2)3余1; 当n除以 3余 2时,因为n23余1,n3余2,所以(n2n2)3余2。因为所有的自然数都在这三类之中
8、,所以对所有的自然数n,(n2n2)都不能被3整除。练习211.10种。解:6=15=24=33=114=123=2+2+2=1+1+1+31+1+2+21+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。2.9种。解:一天吃完有1种:(10);两天吃完有5种:(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3);三天吃完有3种:(3,3,4),(3,4,3),(4,3,3)。共1+5+3=9(种)。3.8种。解:如下图所示,只有1个小矩形竖放的有3种,有3个小矩形竖放的有4种,5个小矩形都竖放的有1种。共341=8(种)。4.6个。解:15个球分成数量不同的四堆的所有分法有下面6种:(1,2,
9、3,9),(1,2,4,8,)(1,2,5,7),(1,3,4,7),(1,3,5,6),(2,3,4,6)。可以看出,分成的四堆中最多的那一堆至少有6个球。5.10个。提示:由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有4,3,2,1个,共有432110(个)。6.6种。提示:将各盘获胜者写出来,可画出枚举树如下:7.14种。提示:按四封信的完成顺序可画出枚举树如下:练习211.将6拆成两个或两个以上的自然数之和,共有多少种不同拆法?2.小明有10块糖,如果每天至少吃3块,吃完为止,那么共有多少种不同的吃法?3.用五个12的小矩形纸片覆盖右图的25的大矩形,共有多少种不同盖法?4.15个球分成数
10、量不同的四堆,数量最多的一堆至少有多少个球?5.数数右图中共有多少个三角形?6.甲、乙比赛乒乓球,五局三胜。已知甲胜了第一盘,并最终获胜。问:各盘的胜负情况有多少种可能?7.经理有4封信先后交给打字员,要求打字员总是先打最近接到的信,比如打完第3封信时第4封信还未到,此时如果第2封信还未打完,那么就应先打第2封信而不能打第1封信。打字员打完这4封信的先后顺序有多少种可能?答案与提示练习211.10种。解:6=15=24=33=114=123=2+2+2=1+1+1+31+1+2+21+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。2.9种。解:一天吃完有1种:(10);两天吃完有5种:(3,7),(
11、4,6),(5,5),(6,4),(7,3);三天吃完有3种:(3,3,4),(3,4,3),(4,3,3)。共1+5+3=9(种)。3.8种。解:如下图所示,只有1个小矩形竖放的有3种,有3个小矩形竖放的有4种,5个小矩形都竖放的有1种。共341=8(种)。4.6个。解:15个球分成数量不同的四堆的所有分法有下面6种:(1,2,3,9),(1,2,4,8,)(1,2,5,7),(1,3,4,7),(1,3,5,6),(2,3,4,6)。可以看出,分成的四堆中最多的那一堆至少有6个球。5.10个。提示:由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有4,3,2,1个,共有432110(个)。6.6种。提示:将各盘获胜者写出来,可画出枚举树如下:7.14种。提示:按四封信的完成顺序可画出枚举树如下: