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1、第2讲椭圆双曲线抛物线自主学习导引真题感悟2 2X y1. (2012江西)椭圆孑+1(ab0)的左、右顶点分别是 A、B,左、右焦点分别是Fi、F2,若|AFi|, |FiF2|, |FiB|成等比数列，则此椭圆的离心率为1 5A-B.-T45C.*D. 5 2解析 利用等比中项性质确定a, c的关系.由题意知AFi| = a c, IF1F2匸2c, |FiB| = a+ c,且三者成等比数列，则|FiF2|= 2,.p= 8.二所求的抛物线方程为X2= 16y.答案D 考题分析椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质、方程一直是每年高考必要内容.近几年命=|AFi| |FiB|，即 4c2 =
2、a c , a = 5，所以 e = g,所以 e=答案B2 22. (2012 东)已知双曲线Ci: a2治=1(a0, b0)的离心率为2若抛物 线C2： x2= 2py(p0)的焦点到双曲线Ci的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方 程为A 28.5216,3A. x = 3 yB . x = yC. x2= 8yD. X = 16y解析 根据离心率的大小和距离列出方程或方程组求解.2 2双曲线C仁字一1(a0, b0)的离心率为2,双曲线的渐近线方程为3x 0)的焦点0, 2到双曲线的渐近线的距离为,3X 0pZ2题更加注意知识的融合创新，涉及导数、函数、不等式、数列、向量等知识，同 时
3、注意思想方法的运用.网络构建高频考点突破考点一：圆锥曲线的定义及应用2 2【例1】（2012潍坊二模）已知双曲线C: X4 * = 1的左、右焦点分别为Fi、F2, P为C的右支上一点，且|PF2|= IF1F2I，则PFi弃2等于A. 24B. 48C. 50D. 56审题导引据已知条件和双曲线的定义可以求出|PF1|与|PF21的长，在PF1F2中利用余弦定理可求两向量夹角的余弦值，即得 PF1 PF2.规范解答如图所示，|PF2|=|F1F2匸6，由双曲线定义可得，|PF1|= 10.在DF1F2中，由余弦定理可得,COS /FlPF2 =2 2 2|PF1|2+ |PF2|2- |Fi
4、F2|22|PFi|PF2|2 2 2102 + 62 - 6252X 10X 6 = 6.PFi PF2= |PFi|PF2|cos ZFiPF2= 10X6X| = 50.答案C【规律总结】焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形.(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识： 椭圆或双曲线的定义； 勾股定理或余弦定理； 基本不等式与三角形的面积公式.【变式训练】2 21 .已知双曲线器一7 = 1,直线I过其左焦点F1,交双曲线左支于A、B两 点，且AB匸4, F2为双曲线的右焦点， ABF2的周长为20,则m的值为A
5、. 8 B. 9 C. 16 D. 20解析 由双曲线的定义可知，|AF2|- AF1|= 2 . m，|BF2|- |BF1匸 2 ,m,所以(AF2| + |BF2|) (|AF1|+ |BF1|)= 4 m,AF21+ |BF2|- |AB|= 4 m,|AF21+ |BF2|= 4+ 4 m.又 AF21+ |BF2|+|AB|= 20,即 4+ 4 . m+ 4 = 20.所以m= 9.答案B2 22. (2012四川)椭圆J + 3 = 1的左焦点为F,直线x= m与椭圆相交于点A、 B,当 FAB的周长最大时， FAB的面积是.解析 根据椭圆的定义结合其几何性质求解.直线x= m
6、过右焦点（1,0）时，AFAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为b 2X 314a= 8,此时，AB| = 2X = -2 = 3,.SzfAB = 2X 2X 3 = 3.答案3考点二：圆锥曲线的性质222 2【例2】(2012咸阳二模)已知椭圆Ci: 壬;+ y = 1与双曲线C2: X - = 1 m+2 nm n共焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为C. (0,1) D.0, 审题导引根据椭圆与双曲线的方程确定其焦点位置， 进而求出m、n的范围, 可求离心率e的取值范围.规范解答由双曲线的方程知，椭圆与双曲线的焦点在 x轴,m+2 n = m+ nm+ 2 0m 0 n 0m+ 2
7、nn= 1，:m 0设椭圆C1的离心率为e,m+ 21-丄m+ 2m 0,答案A【规律总结】离心率的求法c双曲线与椭圆的离心率就是a的值，有些试题中可以直接求出 a c的值再求ac b要能够找到一个关于a、c或a、b的方程，通过这个方程解出-或a，利用公式e a a1 + ：2，对椭圆来说，e=1 - ：2.离心率，在有些试题中不能直接求出 a c的值，由于离心率是个比值，因此只c =a求出，对双曲线来说，e=【变式训练】2 23. (2012日照模拟)已知双曲线拿一*= 1(a0, b0)的离心率为2, 一个焦 点与抛物线y2二16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为.y=2xC. y=.y
8、= 3x解析 抛物线y； 5, 2c. 2 d.32 2 b解析 易知双曲线字一活=1的渐近线为y=x.= 16x的焦点为(4,0),：c= 4，2,.a= 2,b c2-a即 )x- ay= 0.不妨设双曲线的焦点为F(c,0),= 16-4= 2 3,故渐近线方程为y =. 3x.答案D2 24. (2012济南三模)已知双曲线的方程为拿一*= 1(a0, b0),双曲线的 一个焦点到一条渐近线的距离为-| c|5据题意，得3 c=2，b= 3 c,3 a2+ b23c(c为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率 为5 3a.-bq2,22 5 22 a + b = a + 9c = c ,
9、224 2. 2 c 93即 a = 9c，e =孑=4， = 2.答案B 考点三：求圆锥曲线的方程2 2【例3】(1)(2012湖南)已知双曲线的渐近线上，则C的方程为一 一 2 2B.520一12 2X V /D匸=120 80C：拿治=1的焦距为10,点P(2,1)在C2 2AX- 1A.20512 2 y- = 1C.80 20(2)设斜率为2的直线I过抛物线y= ax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若厶OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为2 2A. y = xB. y = x29C. y = 4xD. y = 8x审题导引(1)利用焦距为10与P(2,1)在双曲线的渐
10、近线上可列出关于a, b的方程组，解出a与b,得双曲线的方程.(2)求出各点的坐标，就可以根据三角形的面积列出关于 a的方程，解方程即得.2 2规范解答(1) - x-y- 1的焦距为10,c= 5= - : a2+ b2.又双曲线渐近线方程为y=x，且P(2,1)在渐近线上，a-2b = 1,即 a = 2b.a由解得a= 2 5, b= .5,故应选A.(2)抛物线y2 = ax(a 0)的焦点F坐标为4，0 ,则直线l的方程为y=2*-4)，它与y轴的交点为A0,-a 勺,1所以OAF的面积为a4a2=4,解得a= i8.所以抛物线方程为y2 = x.故选B.答案(1)A (2)B【规律
11、总结】求圆锥曲线方程的方法(1) 定义法：在所给的条件满足圆锥曲线的定义时或已知圆锥曲线的焦点及 其上一点的坐标时常用此方法.(2) 待定系数法：顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2= 2ax或x2= 2ay(aM 0),避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时 a不具有p的几 何意义.中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，2 2椭圆方程可设为m + y = 1(m0，n0)，2 2双曲线方程可设为m_* = 1(mn0).这样可以避免繁琐的计算.利用以上设法，根据所给圆锥曲线的性质求出参数，即得方程.【变式训练】5. 若点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+ 4 = 0的距离小
12、2,则点P(x，y) 的轨迹方程为A. y2 = 8xB. y2= 8xC. /= 8yD. x2= 8y解析 点P(x, y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+ 4= 0的距离小2,说明点P(x， y)到点F(0,2)和到直线y+ 2 = 0的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x2 = 2py，其中p = 4，故所求的轨迹方程为x2 = 8y.答案C2 26. 设椭圆話+ *= 1(m0, n0)的右焦点与抛物线y2 = 8x的焦点相同，离1心率为2，则此椭圆的方程为2 2 r X V B + J2 2x 丄D+=64+ 48解析 依题意得抛物线y2= 8x的焦点坐标是(2,
13、0),则椭圆的右焦点坐标是（2,0）,、. 2 2 2 2 1 2 由题意得 m n = 2 且 e=帚=2，m= 4， n = 12，22椭圆的方程是务+召=1，选B.答案B名师押题咼考2 2【押题1】设F1、F2分别是双曲线02 1（a0，b0）的左、右焦点，若4双曲线右支上存在一点 P满足|PF2|= IF1F2I，且cos / PF1F2 4，则双曲线的渐 近线方程为A. 3x4y 0B . 3x5y 0C. 4x3y 0 D. 5x4y 0解析 在3F1F2中，由余弦定理得cos ZPF1F2 |PF1|2 + |F1F2|2 |PF2f2|PF1| IF1F2IPF4c |PFi|所以|PFi匸c.163又|PFi|PF2| = 2a, 即c-2c= 2a, a= 5c.代入 c2 = a2 + b2 得3.a o因此，双曲线的渐近线方程为4x3y= 0.答案C押题依据对于圆锥曲线，定义是非常重要的，高考中常以选择题或填空题的 形式灵活考查圆锥曲线的定义以及由定义所涉及的几何性质.本题是典型的焦点三角形问题，突出了定义，同时考查了余弦定理，方法较灵活，故押此题.【押题2】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点Fi，F2在x 轴上，离心率为今.过Fi的直线I交C于A、B两点，且 ABF2的周长为16,那 么C的方程为.解析根据椭圆焦点在x
