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1、第1章 网络图论与网络方程1.1 电路的线图 电网络的两个根本定律是基尔霍夫电流定律简称KCL和基尔霍夫电压定律简称KVL。对某一具体电网络，通常可以列出许多KCL和KVL方程。但是所有这些方程并不都是独立的。本节及下一节利用图论(graph theory)的有关概念和方法来解决如何列写独立的基尔霍夫定律方程问题。图论是一门数学，研究由“点和“线构成的线图(linear graph) 简称图(graph)。基尔霍夫定律是网络结构对电流、电压的约束，与元件性质无关。因此在列写基尔霍夫定律方程时，可以不用考虑元件，从而将电路抽象成由“点和“线组成的线图。在本书中将“点统称为节点，将“线统称为支路(
2、branch)。1 元件的线图二端元件有一个独立的端子电流和一个端对电压，可用两个节点和一条支路来表示，如图1.1所示。支路中的电流和两点间的电压分别称为支路电流和支路电压，并且电压电流取相同参考方向，称为关联参考方向，在支路上用一个箭头表示。三端元件有3个端子电流和3个端对电压，如图1.2(a)。电流电压分别受KCL和KVL约束，即 图1.1 二端元件的线图 图1.2 三端元件的线图因此可以用两条支路和三个节点的线图来表示。对图1.2(a)，取任意两个端子电流为独立电流变量，例如端子和的电流、，同时取这两个端子与端子的电压、为独立的电压变量。对应的线图如图1.2(b)所示。依此类推，对n端元
3、件，如果存在m个独立的端子电流或m个独立的端对电压，那么可抽象成m条支路n个节点的线图。2 电路的线图有了元件的线图便可用以建立电路的线图。图1.3是一例如。将图(a)中的元件一一抽象成线图，再按照原来的关系联结起来，便得到图(b)所示的电路线图。其实电路图和电路线图都是实际电路的抽象，不过后者更突出了电路的结构特征。 (a) (b)图1.3 电路图和相应的电路线图从图论的观点，图是由节点和支路的组成的集合，其中每条支路的两端都联到相应的节点上。图的一局部(即上述集合的子集)称为子图(subgraph)。图可分为联通图(joint graph)与非联通图(disjoint graph)。前者的
4、任意两个节点之间至少存在一条路径；后者那么某些节点之间并无路径相通，整个线图分成几个孤立的局部。如果图中所有支路都指定了方向，那么称为有向图(directed graph)。图论中，树(tree)是一个重要的根本概念。连通图的树是一个包含全部节点而不形成回路的连通子图。属于树的支路称为树支(tree branch)，其余支路称为连支(link branch)。图1.4画出一个4节点的连通图及其中的8个树(该图共有16个树)。每个树的树支数都是3。可以这样来理解：首先画出4个节点，然后用一条支路将两个节点相连。之后，依次连入每个节点，只需增加一条支路。这样，用3条支路就可将全部节点连成树。推广之
5、：一个具有n个节点的连通图，其每个树的树支数都是n-1。如果分别用、表示支路数、树支数和连支数，那么有 图1.4 连通图及其局部树1.2独立的基尔霍夫定律方程1 独立的基尔霍夫电流定律方程基尔霍夫电流定律可以用于闭合面，即流出闭合面的支路电流代数和恒等于零。从图论观点看，穿过闭合面的支路集合称为割集(cut-set)。其定义为：连通图的割集是一组支路集合，并且满足：(1)如果移去包含在此集合中的全部支路，那么此图变成两个别离的局部；(2)如果留下该集合中的任一支路，那么剩下的图仍是连通的。在图1.5(a)中，支路集合1,2,4、1,3,4,6是割集，其中前者是与节点相联的支路集合。而2,3,5
6、、3,4,5,6那么不是割集。有了割集的概念，基尔霍夫电流定律便可表述成：集中参数电路中，流入任意割集各支路电流的代数和恒等于零。一个图存在许多不同的割集，每个割集都对应一个KCL方程，但并不是所有这些KCL方程都是独立的。如果对一组割集所列KCL方程是独立的，那么这些割集称为独立割集。下面借助树讨论独立割集即KCL方程的独立性问题(a) (b) (c) (d)图1.5 根本割集一个电路作出其线图并任选一树，取一树支和假设干连支只能做出一个单树支割集，否那么将出现仅由连支组成的割集。这是不可能的，因为树是连通的，每一个割集至少要包括一条树支。每取一个树支做一个单树支割集，称为根本割集(fund
7、amental cut-set)。根本割集的方向规定为所含树支的方向。以图1.5为例研究根本割集的性质。图中可见有3个根本割集，分别对应树支1、2、3，见图1.5(b)1.5 (d)中与闭合虚线相交的支路。写出这3个根本割集的KCL方程 割集：(1.1a) 割集：(1.1b) 割集：(1.1c)这三个方程是相互独立的，因为每一个方程中分别含有一个不同的树支电流，其中任一方程不可能通过其它方程线性组合而得。其它割集，例如支路1、2、4，其KCL方程：就可通过(1.1b)式减(1.1a)式得出，因而是不独立的。推广为一般情况：根本割集的基尔霍夫电流定律方程是一组独立方程，方程的数目等于树支数，根本
8、割集是一组独立割集。 (1.1a)(1.1c)三式还可得到(1.2a)(1.2b)(1.2c)可见，树支电流可以表达成连支电流的线性组合。另一方面，因为树是连通的，仅由连支不能形成割集。所以任一连支电流不能仅通过KCL而表达成其它连支电流的线性组合。于是得出结论：在全部支路电流中，连支电流是一组独立变量，个数等于连支数。 必须指出按根本割集列出(n-1)个KCL方程只是保证独立的充分条件，而非必要条件。其实，随意选取(n-1)个节点列写KCL方程便是独立的，所选取的(n-1)个节点称为独立节点(independent nodes)。例如图1.5(a)中共有4个节点，列出每一节点上的KCL方程节
9、点：(1.3a)节点：(1.3b)节点：(1.3c)节点：(1.3d)综观这4个方程，可见每一支路电流都出现两次，一次带“号，一次带“号。如果将此4个方程相加，等号左侧电流全部相消，所以其中至少有一式相对不独立。任意除去一个节点电流方程，在剩下的3个方程中，与该节点相关联的电流均只出现一次。这3个方程左边的任意线性组合均不可能使电流全部相消，因而是独立的。所去掉节点的KCL方程可以由其它节点的KCL方程的线性组合而得。例如将方程(1.3a)(1.3c)相加后再取负号即得方程(1.3d)。显然，对(n-1)个节点列写KCL方程要比对(n-1)个根本割集列写KCL方程方便。在一般情况下常用节点上的
10、KCL方程，只是在某些特殊场合，不得不借助树的概念列写割集电流方程。2 独立的基尔霍夫电压定律方程对一个电路作出其线图并取一树。取一条连支和假设干树支只能形成一个回路，否那么将出现仅由树支组成的回路。这是不可能的，因为树不含回路，每一个回路中至少要包括一条连支。每一个连支对应一个单连支回路，称为根本回路(fundamental loop)。根本回路的方向规定为所含连支的方向。以图1.6为例研究根本回路的性质。图中有3个根本回路，分别对应连支4、5、6。这三个根本回路上的KVL方程为回路432： (1.4a)回路5123：(1.4b)回路621： (1.4c) 这三个方程是独立的，因为每个方程都
11、包含一个不同的连支电压。对根本回路以外的回路列出的KVL方程都可由根本回路上的KVL方程通过线性组合而得，因而是不独立的。例如对连支4、5与树支1组成的回路列出的KVL方程是此式其实就是含的式(1.4a)与含的式(1.4b)相加的结果。这相当于把两个根本回路重合在一起，而把公共支路电压消去。其它回路的KVL方程都可以类似获得，读者可以通过绘制一些不同的线图来验证。推广到一般情况：在根本回路上列写的基尔霍夫电压定律方程是一组独立方程，方程的数目等于连支数，根本回路是一组独立回路。 由(1.4a)(1.4c)还可得到(1.5a)(1.5b) (1.5c)说明连支电压可以用树支电压的线性组合来表示。
12、但是任一树支电压不能仅由KVL表达成其它树支电压的线性组合，这是因为仅由树支不能形成回路。可见在全部支路电压中，树支电压是一组独立变量。还需说明，取根本回路只是列写独立的基尔霍夫电压定律方程的一个充分条件而非必要条件。实际上，如果每取一个回路都至少包含一条新支路，所有b-(n-1)个回路的KVL方程便是独立的。 对于一个平面电路，也可以取网孔来列写独立的KVL方程。以图1.7为例，对应各内网孔的KVL方程分别为 网孔1的方程不能由网孔2、3、4组合而成，因为网孔1的外侧支路不出现在网孔2、3、4中。同理可以分析网孔2、3。至于网孔4的支路虽在网孔1、2、3中都出现了，但是网孔1、2、3的方程中
13、分别有一个支路电压不能被消去而得网孔4的电压定律方程。由此证明了网孔电压方程是独立的，独立的KVL方程数等于网孔数，且与连支数b-(n-1)一致。而网孔以外的回路电压方程都将是网孔电压方程的线性组合。例如对外网孔有：它是前4个方程之和。 练习题1.2.1 给出图中所示的网络线图，问以下支路集合哪些是割集？哪些不是割集？为什么？(1)1、3、5；22、3、4、7、8；(34、5、6；46；54、7、9； (6)1、3、4、7。 练习题1.2.2 图示电路，任选一树，指出全部的根本回路的支路集合和全部根本割集的支路集合。 网络线图如下图。(1任选一组独立的支路电压，并用以表达其它支路电压；(2)任
14、选一组独立的支路电流，并用以表达其它支路电流。练习题1.2.4 试探讨在怎样的线图里，树的结构使节点电流方程与根本割集电流方程刚好一致？练习题1.2.5 试列写图1.2.2所示电路的网孔电压方程。能否选择一树，使得根本回路的电压方程与网孔电压方程一致？ 1.3 特勒根定理本节介绍由基尔霍夫定律导出的一个集中参数电路普遍定理特勒根定理(Tellegens theorem)：定理1：在任一集中参数电路中，设其支路电压列矢量，支路电流列矢量，各电压、电流取关联参考方向，那么有(1.6)从1.16式可见，定理1的物理意义是电路中各支路吸收功率的代数和恒等于零，说明电路中功率是守恒的。所以有时把定理1称为功率定理(power theorem)。将特勒根定理用于图1.16，证明如下。设节点为参考节点，其它节点相对该节点存在确定的节点电压，用节点电压表达的支路电压(或者说KVL方程)是 各支路电压、电流乘积之和为 (1.7)(1.7)式括号分别是与3个独立节点相连的支路电流代数和，根据KCL它们应等于零。因此得到 在以上表述过程中，只利用了
