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1、高中数学-离散型随机变量的均值与方差、正态分布1已知随机变量X服从二项分布,且E(X)2.4,D(X)1.44,则二项分布的参数n,p的值为()An4,p0.6Bn6,p0.4Cn8,p0.3 Dn24,p0.1【解析】由题意得解得【答案】B2设两个正态分布N(1,)(10)和N(2,)(20)的密度函数图象如图所示,则有()A12,12 B12,12C12,12 D12,12【解析】根据正态分布N(,2)函数的性质:正态分布曲线是一条关于直线x对称,在x处取得最大值的连续钟形曲线;越大,曲线的最高点越低且较平缓;反过来,越小,曲线的最高点越高且较陡峭,故选A.【答案】A3一个篮球运动员投篮一
2、次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a、b、c(0,1),已知他投篮一次得分的均值为2,则的最小值为()A.B.C. D.【解析】由已知得,3a2b0c2,即3a2b2,其中0a,0b1.又32,当且仅当,即a2b时取“等号”,又3a2b2,即当a,b时,的最小值为,故选D.【答案】D4马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表:123P?!?请小牛同学计算的数学期望尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同据此,小牛给出了正确答案E()_.【解析】令“?”为a,“!”为b,则2ab1.又E()a2b3a2(2ab)2.【答案】
3、25以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示(1)如果X8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;(2)如果X9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望(注:方差s2(x1)2(x2)2(xn)2,其中为x1,x2,xn的平均数)【解】(1)当X8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,所以平均数为:x;方差为:s2(8)2(8)2(9)2(10)2.(2)当X9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选
4、取一名同学,共有4416种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”,所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y17).同理可得P(Y18);P(Y19);P(Y20);P(Y21).所以随机变量Y的分布列为:Y1718192021PEY17P(Y17)18P(Y18)19P(Y19)20P(Y20)21P(Y21)171819202119.课时作业【考点排查表】难度及题号错题记录考查考点及角度基础中档稍难正态分布258离散型随机变量的均值16,7,129,13,离散型随机变量的方差34,10,
5、11一、选择题1(2010全国新课标高考)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为()A100B200C300 D400【解析】1 000粒种子每粒不发芽的概率为0.1,不发芽的种子数XB(1 000,0.1),1 000粒种子中不发芽的种子数为1 0000.1100粒,又每粒不发芽需补种2粒;需补种的数X2100200.【答案】B2(2010广东高考)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2X4)0.682 6,则P(X4)()A0.158 8 B0.158 7C0.158 6 D0.158 5
6、【解析】由正态曲线性质知,其图象关于x3对称,P(x4)0.5P(2x4)0.50.682 60.158 7.故选B.【答案】B3若X是离散型随机变量,P(Xx1),P(Xx2),且x1x2,又已知E(X),D(X),则x1x2的值为()A. B.C3 D.【解析】由E(X)x1x2得2x1x24又D(X)(x1)2(x2)2得18x9x48x124x2290由,且x1x2得x11,x22,x1x23.【答案】C4已知随机变量X8,若XB(10,0.6),则E(),D()分别是()A6和2.4B2和2.4C2和5.6 D6和5.6【解析】若两个随机变量,X满足一次关系式aXb(a,b为常数),
7、当已知E(X)、D(X)时,则有E()aE(X)b,D()a2D(X)由已知随机变量X8,所以有8X.因此,求得E()8E(X)8100.62,D()(1)2D(X)100.60.42.4.【答案】B5设随机变量服从正态分布N(,2),函数f(x)x24x没有零点的概率是,则等于()A1 B4C2 D不能确定【解析】根据题意,函数f(x)x24x没有零点时,1640,即4,根据正态密度曲线的对称性,当函数f(x)x24x没有零点的概率是时,4.【答案】B6利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是()A.A1 BA2CA3 DA4【解析】利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是:50
8、0.25650.30260.4543.7;700.25260.30160.4532.5;(20)0.25520.30780.4545.7;980.25820.30(10)0.4544.6.【答案】C二、填空题7已知随机变量X的分布列为X101P那么X的数学期望E(X)_,设Y2X1,则Y的数学期望E(Y)_.【解析】由离散型随机变量的期望公式及性质可得,E(X)(1)01,E(Y)E(2X1)2E(X)12()1.【答案】8在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,2)(0),若在(0,1)内取值的概率为0.4,则在(0,2)内取值的概率为_【解析】在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,2
9、)(0),正态分布图象的对称轴为x1,在(0,1)内取值的概率为0.4,可知,随机变量在(1,2)内取值的概率与在(0,1)内取值的概率相同,也为0.4,这样随机变量在(0,2)内取值的概率为0.8.【答案】0.89有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取3件,若表示取到次品的个数,则E()_.【解析】的取值为0,1,2,3,则P(0);P(1);P(2);P(3).E()0123.【答案】三、解答题10一名学生在军训中练习射击项目,他们命中目标的概率是,共射击6次(1)求在第三次射击中首次命中目标的概率;(2)求他在射击过程中命中目标数的期望与方差【解】(1)第三次射击中首次命中的意
10、思是第一、二次都未命中而第三次命中,这是相互独立事件同时发生的概率又P,P3.(2)他在每次射击中是否命中目标是相互独立的,所以是进行了6次独立重复试验,即随机变量服从二项分布B(6,)由服从二项分布的期望与方差的计算公式知Enp62,Dnp(1p)6.11(2012北京高考)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾
11、202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误额概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c其中a0,abc600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值(注:s2(x1)2(x2)2(xn)2,其中为数据x1,x2,xn的平均数)【解】(1)厨余垃圾投放正确的概率约为.(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件表示生活垃圾投放正确事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P()约为0.
12、7,所以P(A)约为10.70.3.(3)当a600,bc0,s2取得最大值因为(abc)200,所以s2(600200)2(0200)2(0200)280000.12(2012江西高考)如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V0)(1)求V0的概率;(2)求V的分布列及数学期望【解】(1)从6个点中随机地选取3个点共有C20种选法,选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有CC12种,因此V0的概率P(V0)(2)V的所有可能值为0,因此V的分布列为V0P由V的分布列可得:EV0.四、选做题13某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X依次为1,2,8,其中X5为标准A,X3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品,产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B生产该产品,产品的零售价为4元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示:X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)