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1、椭圆的根本知识一、根本知识点知识点一：椭圆的定义：椭圆三定义，简称和比积1、定义1:和到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫椭圆的焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距,定值为。2、定义2：比到定点和定直线的距离之比是定值的点的轨迹叫做椭圆。定点为焦点，定 直线为准线，定值为。3、定义3：积到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆。两定点是长轴端点，定值为m = e2 1（1VmV0）。知识点二：椭圆的标准方程1、当焦点在X轴上时，椭圆的标准方程为，其中C2 = a2 -b2。2、当焦点在J轴上时，椭圆的标准方程为，其中C2 = a2 -b2。知识点三：椭圆的参数方程X 2
2、y 2+厂=1（ab0）的参数方程为。a 2 b 2知识点四：椭圆的一些重要性质1）对称性：椭圆的标准方程是以X轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对 称中心的中心对称图形，这个对称中心就是椭圆的中心。2）范围：椭圆上所有的点都位于直线x = a和y = b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足XI a,|y| b0）与坐标轴的四个顶点分别为。a2 b2 椭圆的长轴和短轴。. 一 一2c c4）离心率:椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e =尸=。2a a因为ac0，所以e的取值范围是0VeV1。5）焦半径：椭圆上任一点P（X。, y0）到焦点的连线段叫做焦半径。
3、对于焦点在x轴上的椭圆，左焦半径=a + ex0，右焦半径r = a 一 ex0。a26）准线方程：X = cb27）焦准距：焦点到准线的距离，用p表示，记作P =。c8）通径：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径，长用c b 22b 2表示，记作 d = 2ep = 2. . = 。a c a9）切线方程：过椭圆+ b- = 1（ab0）上, *）点的切线方程，可以用, *）等 效代替椭圆方程得到。等效代替后的切线方程是：当+尹=1。a 2b 210）极点与极线：假设P G , y）是椭圆折+ 了 = 1（ab0）外一点，过P作椭圆的 0 0 0a 2 b 20两条切
4、线，切点为P, P，那么点P和切点弦PP分别称为椭圆的极点和极线。1201 2切点弦的直线方程即极线方程是+ ； =1极线定理。11）中点弦方程和弦中点轨迹：中点弦AB的方程：在椭圆中，假设弦AB的中点为M（君,y0），弦AB称为中点弦，那么 中点弦的方程就是+ ：。 = + ，是直线方程。a 2b 2a 2 b 2弦中点M的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点P（x0,y0）的弦AB，其中点M的方程就是x x y y x2 y2 ，一、，一+ +尹= + t，仍为椭圆。a 2b 2a 2 b 2一一 一 . x 2 y 2 一 y 2 x 2知识点五：椭圆+ =】和+ = 1（ab0）的区别和联系
5、性质隹点 八、八、焦距范围对称性顶点轴长离心率准线方程焦半径二、规律方法1、如何确定椭圆的标准方程？确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件。,b ；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2、椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义a, b, c构成一个直角三角形的三边，满足勾股定理。3、如何由椭圆标准方程判断焦点的位置？椭圆的焦点总在长轴上，因此标准方程，判断焦 点位置的方法是：看x2, y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4、方程Ax2 + By2 = C(ABC丰0)是表示椭圆的条件。5、求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由条件确定焦点
6、的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条 件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量； 定义法：由条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6、共焦点的椭圆标准方程形式上的差异x 2 y 2共焦点，那么c相同。与椭圆一 + = 1(ab0)共焦点的椭圆方程可设为a 2 b 2x 2y 2+ = 1(m -b2)，此类问题常用待定系数法求解。 a 2 + m b 2 + m7、如何求解与焦三角形PF、F2 (P是椭圆上的点)有关的计算问题？焦三角形：以椭圆的两个焦点F, F2为顶点，另一个顶点P在椭圆上的三角形称为焦三角形。半角是指9 =ZFPF的一
7、半。那么焦三角形的面积为：S = b2tan =。1228、直线与椭圆问题的有关计算问题韦达定理的应用）1弦长公式2中点弦问题点差法三、四种题型与三种方法一）四种题型一尤2 V2L椭圆C.壬+ 土 T内有一点0）, F为椭圆。的左焦点”为椭圆。上的一动点，求冏|+3 PFI的最小值。一尤2 V22、椭圆C :25 + 土二1内有一点拒1）F为椭圆。的左焦点P为椭圆。上的一动点,求PA + |PF|的最大值与最小值。一尤2 V 23、椭圆C.余+希=1夕卜有一点期6），/为椭圆C的左准线P为椭圆。上的一动点,3 一点P 到 l的距离为d，求|PA| + 5d的最小值。2b 2x 2 y 24、定
8、长为d（d =）的线段曷的两个端点分别在椭圆+ % =】。）上移动，求AB的中点M到椭圆右准线l的最短距离。二）三种方法X 2 V 21、椭圆一 + ： = 1（ab0）的切线与两坐标轴分别交于A,B两点，求三角形AOB的最 a 2 b 2小面积。X 2 V 2 一一一-一-2、椭圆宥+ ： = 1和直线l: x- V + 9 = 0，在l上取一点M，经过点M且以椭圆的焦点 JL 匕F,乌为焦点做椭圆，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆。3、过椭圆2x2 + v2 = 2的焦点的直线交椭圆于A,B，求AAOB面积的最大值。四、经典例题X 2 V 2L如图，把椭圆王+=】的长轴AB分成8
9、等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半局部于P, P , P , P , P , P , P七个点，1234567F是椭圆的一个焦点，那么PF + PF+ PF =127_ _X 2 V 2 一一一2、F, F是椭圆R + 2 = 1的两个焦点，过F的直线与椭圆交于M,N两点，那么MMNF1216912的周长为（）A. 8B. 16C. 25D. 32X 2 V 23、过点ATP且与椭圆s闩=1的两个焦点相同的椭圆标准方程是x 2V2一1一4、假设椭圆显+ 3 T的离心率是2,那么k的值等于5、F, F分别是椭圆兰+=1的左右焦点，点P在椭圆上，POF是面积为*的正1 2a 2 b 22三角形，那么b 2的值是.6、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为k2，焦点到相应准线的距离为1，那么1C. 2v2D. T该椭圆的离心率为5*2A. 2 B, 2X 2 y 2. 一 .7、定点A（a，0），其中0VaV3，它到椭圆+ =1上的点的距离的最小值为1，求a的94值。一一x 2y 2-8、F,乌分别是椭圆疝+ 64 = 1的左右焦点，点P在椭圆上。1假设ZFPF =；，求NFPF的面积； 123122求|PF|.|PF21的最大值。
