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1、致远管理学院工业管理学系课 程：实 验 设 计讲 人：林 东 成 助理教授时间： 2002/9/* 2003/1/*参考资料1. Douglas C. Montgomery, Design and Analysis of Experiments, 5th Edition, John Wiley & Sons, Inc.2. 黎正中 译，实验设计与分析，高立图书有限公司。3. 白赐清 编着，工业实验计划法，中华民国品质学会 发行。4. 吴玉印 着，新版实验计划法，中兴管理顾问发行。5. 陈耀茂 译，田口实验计划法，沧海书局。6. 吴柏林 着，现代统计学，五南图书出版公司。7. 陈顺宇、郑碧娥着，
2、统计学，华泰书局。8. 王文中 着，Excel於资料分析与统计学上的应用，博硕文化股份有限公司。授课目录第1章简介第2章简单比较性的实验第3章一因子实验：变异数分析第4章 随机化集区，拉丁方阵，与相关设计第5章因子设计简介第6章2因子设计第7章2k因子设计的集区划分与交络第8章2水准部份因子设计第9章3水准与混合水准因子和部份因子设计第10章配适回归模式第11章反应曲线法与其他制程最佳化法第12章有随机因子之因子实验第13章套层及分裂图设计 第14章其他设计与分析题目第7章2 k因子设计的集区划分与交络kChap 7. Blocking and Confounding in the 2 Fac
3、torial Design p7-1 简介(Introduction)有多种情况实验者无法在均一的条件下进行2k因子实验 的所有试验，如原料不足、或故意改变实验条件，以确保处 理於实际上可能遇到的状况能一样地有效.,即稳健的)。此种情况用到的设计技巧是集区划分(Blocking)，本章集中於2k因子设计的一些特殊的集区划分技巧。7-2集区划分一个反覆的2k因子设计k(Blocking a Replicated 2Factorial Design)假设2k因子设计反覆n次，此情况与第5章讨论的完全相 同，每一种不同的条件就是一个集区 ，而每个反覆就在集区 内，在各个集区(或反覆)的试验以随机顺序
4、进行。*范例7-1考虑在6-2节所描述一反应浓度(Reaction Concentration)和触媒量(Catalyst)对化学反应过(制)程合格率效果的研究。假设单一批原料只容纳4次试验，所以，需要3批原料来进行3次反覆，其中每一原料批对应到一个集区，SSb集区3lock 集区1集区2i 3由ANOVA分析，集区效果不显着。7-3 2 k 因子设计的交络 (Confounding in the 2k Factorial Design)许多情况是在一个集区里进行一次完整的2k 因子设计是不可能的。交络 (Confounding) 是一个设计技巧，可安排一 个完整的因子实验到数个集区，其中集区
5、的大小是小於一次 反覆中处理组合的个数，此技巧造成某些处理效果 ( 通常指 高阶交互作用)的资讯成为无法区分於 (In-distinguishable from)或 交络於 (Confounded with) 集区效果。本章集中於 2k 因子设计的交络系统。7-4 2k 因子设计交络於 2个集区Design in Two(Confounding the 2k FactorialBlocks)假设进行一个未反覆的 2k 因子设计，22= 4 种处理组合均需要一些原料，而每一批原料只够试验2个处理组合，因此共需2批原料，倘将原料批视成集区，则须指订4种处理组合中的2种到每一个集区里。+二集区1试验
6、二集区2试验A+(a)几何上视之集区2集区1(1)(b)置於2集区里的4个试验图7-1 2集区之2k因子设计上图(a)显示相对对角的处理组合被安置到不同的集区， 图(b)视出集区1包含处理组合(1)与ab集区2包含处理组合 a与b当然，在集区里处理组合的试验顺序是随机决定的， 且随机决定集区顺序。则A与B的主效果(与似无发生集区 般)为，A = ab+a-b-(1)/2B = ab+b-a-(1)/2A与B均无受到集区划分的影响，因为上式中各有来自每个集区的一个正的与一个负的处理组合，亦即，集区1与集区2之间的任何差异均被抵消矣。续考虑AB交互作用效果AB = ab+-a-b/2因2个正号的处
7、理组合ab与（1）在集区1里、而2个负号的处 理组合a与b在集区2里，集区效果与AB交互作用效果是 完全相等的，亦即，AB是交络於集区。此理由可从2k设计的正负符号表明显视出，处理组合因子效果IABAB(1)+-+a+-b+-+-ab+这作法可用来交络任何效果（A，B或AB）於集区。如（1）与b指订到集区1及a与ab指订到集区2,则A的主效果将被交络於集区。一般是将最高阶交互作用效果交络於集区。上述 作法可用来交络任何2k设计於2个集区 建构集区的其他方法(Other Methods for Constructing the Blocks)此为利用线性组合，L = 1X1+ 2X2 + + k
8、Xk(7-1)其中 Xi 是出现在处理组合中第 i 个因子的水准，与 i 是要被 交络的效果中第i个因子的幕次(Exponent)。对2k系统，i = 0或1，及 Xi= 0 ( 低水准 ) 或 Xi= 1 ( 高水准 ) 。式 (7-1) 称之 为定义对比 (Defining Contrast) ，会产生相同 L(Mod 2) 的 可能值只有0与1,如此指订2k个处理组合正好到2个集区里。兹考虑23设计而且交络 ABC於集区，在此xi对应A、X2对 应B、X3对应C，与i = 2 = 3 =1，因此，对应於 ABC的定义 对比为，L = X 1+ X 2 + X 3因此处理组合 (1) 在(
9、0,1) 的符号表示下为 000；所以，L = 1(0)+1(0)+1(0)= 0 = 0 (Mod 2)同理，处理组合 a 为100；所以，L = 1(1)+1(0)+1(0)= 1 = 1 (Mod 2)故(1) 与 a 将分属不同的集区。对於其他的处理组合，b:L = 1(0)+1(1)+1(0)= 1= 1 (Mod 2)c:L = 1(0)+1(0)+1(1)=1= 1 (Mod 2)ac: L= 1(1)+1(0)+1(1)= 2 = 0(Mod 2)bc: L= 1(0)+1(1)+1(1)= 2 = 0(Mod 2)abc:L = 1(1)+1(1)+1(1)= 3 =1 (M
10、od 2)所以， (1), ab, ac, bc 属於集区 1； a, b, c, abc属於集区2， 这与用正负符号表所产生的设计完全相同。另一种建构这些设计的方法 ，包含 处理组合 (1) 的集区称 之为 主集区 (Principal Block) ，在此集区里的处理组合有 一个很有用的群理论性质 (Group-Theoretic Property) ，即 它们以乘法 Mod2的运算而形成之一”群” (Group),此意谓 着主集区内的任何元素 除(1) 外 可由主集区内任 2个元素 (处理组合)相乘法的Mod 2得到，如ABC交络之23设计在2个 集区的主集区，ab ac = a 2bc
11、 = bc ； ab bc = ab 2c = ac ； ac bc = abc 2 = ab 因此主集区的元素为 (1), ab, ac, bc 。而另一集区，可由 一个非主集区的元素 ( 处理组合 ) 乘以主集区的每一个元素 Mod 2产生。其中， b 是在另一集区里 ，故另一集区的元素为，2b =b ; b ab = ab = a ;b ac = abcb bc = b 2 c = c其结果与先前得到的一致。误差的估计(Estimation of Error)当因子数目很小时(2k, Level Fa如)，如k = 2或3，通常有必要反覆实验以获得一个误差估计值。如23因子实验必须以2个
12、集区来进行且 ABC被交络，实验者决定反覆设计4次，如下图，反覆1反覆2集区1集区2集区1集区2(1)acabc a(1)acabc a反覆3反覆4集区1集区2集区1集区2(1)acabc a(1)acabc a图7-3反覆4次ABC被交络之23设计此设计总共32个观测值和31个自由度，有8个集区即7个自由 度，此7个自由度分解为A= B= C= AB= BC= AC= ABC= 1，而误差平 方为反覆与因子效果（A, B, C, AB, AC, BC） 之二者交互作 用。考虑视交互作用为零且将其均方作为误差估计值的作法是成立的，此均方误差可以检定主效果与2-因子交互作用效果。ANOVA-反覆
13、4次且交络ABC之23设计变源自由度反覆3集区(ABC)1ABC勺误差（反覆集区）3A, B, C, AB, AC, BC 各1误差（反覆效果）18总和31倘实验资源允许反覆的交络设计，较佳方式是稍微以不同方式来设计各个反覆的集区，此方式包括在每个反覆中交 络不同的效果，使得所有的效果都能有一些资讯， 此法称之 为部分交络 (Partial Confounding) 。倘 k 不算太小，即 k 4，且只一次反覆时，实验者常假设高阶交互作用效果是可 忽略的，并将其平和合并为误差。范例 7-2回顾再续范例 6-2 ，一个化学产品於一压力槽内生产，在 实验工厂进行因子实验来研究产品的过滤比率 (Fi
14、ltration Rate) ， 4个因子为温度 (A) 、压力 (B) 、甲醛浓度 (C) 、与搅 拌速度 (D) ，各因子均有 2水准，单次反覆。有兴趣於极大化 过滤比率。用此实验来说明一个未反覆设计集区划分与交络的概 念，假设 24 = 16种处理组合无法利用一批原料进行所有的试 验，实验者由一批原料可以试验 8个处理组合 ，所以一个 24 交 络於 2个集区的设计是适当的，且交络最高阶交互作用效果 (ABCD)於集区。(1)=25a=71ab=45b=48ac=40c=68bc=60d=43集区1集区2假设二批原料中有一批的品质低劣，造成所有的反应值均比用另一批原料所得值低 20，即原始反应值 减去20，低劣品 质原料是集区1与良好品质原料批为集区 2。计算结果， 4个主效果、6个2-因子交互作用效果、4个3-因子交互作用效果的估计值均与无集区效果的例6-2所得之效果估计值完全相同。当划出这些效果估计值的常态机率图时，因子 A、C、D与AC AD交互作用为显着 重要效果。 ABCD交互作用效果的估计值原为，但在此实验其估计 值为，因ABCD交络於集区，ABCD交互作用效果的估 计值是原加上区
