《高中数学第二章概率2.5随机变量的均值和方差数学期望在生活中的应用素材苏教版选修232》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章概率2.5随机变量的均值和方差数学期望在生活中的应用素材苏教版选修232（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学期望在生活中的应用摘 要： 数学期望是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。通过几个例子,阐述了概率论与数理统计中的教学期望在生活中的应用,文章内容包括决策、利润、彩票、医疗等方面的一些实例，阐述了数学期望在经济和实际问题中颇有价值的应用。 关键词： 随机变量， 数学期望， 概率 ， 统计 数学期望(mathematical expectation)简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，在经济管理工作中有着重要的应用。本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用，以期起到让学生了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。 随机变
2、量的数学期望值：在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”“期望值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。）单独数据的数学期望值算法：对于数学期望的定义是这样的。数学期望E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + + Xn*p(Xn)X1,X2,X3,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X
3、3),p(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,Xn出现的频率f(Xi).则：E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + + Xn*fn(Xn)很容易证明E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。1 决策方案问题 决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。具体做法为：如果知道任一方案Ai(i=1,2,m)在每个影响因素Sj(j=1,2,n
4、)发生的情况下，实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率,则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案。 1.1投资方案 假设某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股票;二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元。如果存入银行，假设利率为8%，可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%。试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？ 比较两种投资方案获利的期望大小： 购买股票的获利期望是E(A1)=40.3+10.5+(-2)0.2=1.3(
5、万元）,存入银行的获利期望是E(A2)=0.8（万元），由于E(A1)E(A2),所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大，应采用购买股票的方案。在这里，投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素,做出选择的根据必须是数学期望高的方案。 1.2面试方案 设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，假定每个公司有三种不同的职位:极好的,工资4万;好的,工资3万;一般的,工资2.5万。估计能得到这些职位的概率为0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何职位。由于每家公司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，那么，应遵循什么策略应答呢？ 极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作
6、，当然不用做决定了。对于其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。 先考虑现在进行的是最后一次面试，工资的数学期望值为: E（A1）=40.2+30.3+2.50.4+00.1=2.7万。 那么在进行第一次面试时，我们可以认为，如果接受一般的值位，期望工资为2.5万，但若放弃(可到下一家公司碰运气），期望工资为2.7万，因此可选择只接受极好的和好的职位。这一策略下工资总的期望如果此人接到了三份这样的面试通知,又应如何决策呢? 最后一次面试,工资的期望值仍为2.7万。第二次面试的期望值可由下列数据求知:极好的职位，工资4万;好的，工资3万；一般的，工资2.5万;没工作(接受第三次面试），2
7、.7万。期望值为:E（A2）=40.2+30.3+2.50.4+2.70.1=3.05万。 这样，对于三次面试应采取的行动是：第一次只接受极好的职位，否则进行第二次面试；第二次面试可接受极好的和好的职位，否则进行第三次面试；第三次面试则接受任何可能提供的职位。这一策略下工资总的期望值为40.2+3.050.8=3.24万。故此在求职时收到多份面试通知时，应用期望受益最大的原则不仅提高就业机会，同时可提高工资的期望值。 2 生产和销售利润问题 在经济活动中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大化,供大于求或供不应求都不利于获得最大利润。但供应量和需求量又不是预先知道的。理性的厂家或
8、商家往往根据过去的数据(概率），用数学期望结合微积分的有关知识，制定最佳的生产或销售策略。 假定某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定其产量。估计出售一件产品，公司可获利m元，而积压一件产品，可导致损失n元，另外，该公司预测产品的销售量X为一个随机变量，其分布为p()，那么，产品的产量该如何制定，才能获得最大利润。 假设该公司每年生产该产品件，尽管是确定的，但由于需求量(销售量)是一个随机变量，所以收益是一个随机变量，它是的函数： 公司收益的数学期望为：E=pmX+(1-p)n(x-X)问题转化为,当为何值时,期望收益可以达到最大值。这个问题的解决,就是求目标函数期望的最大最小值。 3 彩票
9、问题 3.1设每张福利彩票售价5元，各有一个兑奖号。每售出100万张设一个开奖组，用摇奖器当众摇出一个6位数的中奖号码（可以认为从000000到999999的每个数等可能出现），兑奖规则如下： 如果兑奖号与中奖号的最后一位相同者获六等奖，奖金10元（中奖概率为0.1）；兑奖号与中奖号的最后二位相同者获五等奖，奖金50元（中奖概率为0.01）；兑奖号与中奖号的最后三位相同者获四等奖,奖金500元(中奖概率为0.001);兑奖号与中奖号的最后四位相同者获三等奖,奖金5000元（中奖概率为0.0001）；兑奖号与中奖号的最后五位相同者获二等奖，奖金50000元(中奖概率为0.00001）;兑奖号与中
10、奖号全部相同者获一等奖，奖金500000元（中奖概率为0.000001）。另外规定，只领取其中最高额的奖金，试求每张彩票的平均所得。 所以彩民的每张彩票的售价数学期望所得为:E=10*0.1+50*0.01+500*0.001+5000*0.0001+50000*0.00001+500000*0.000001=3.5 那么，一个开奖组（100万张）可将所筹得的500万元中的350万元以奖金形式返还给彩民，其余150万元则可用于福利事业及管理费用。因此，彩票中奖与否虽然是随机的，但一种彩票的期望所得是可以预先算出的，计算期望所得也是设计一种彩票的基础。3.2还有一种玩法和设奖方法：彩票的玩法比较
11、简单，2元买一注，每一注填写一张彩票，每一张彩票由一个6位数字和一个特别号码组成，每位数字均可填写0、1、9这10个数字中的一个。每期设六个奖项，由彩票中心随机开出一个奖号-一个6位数号码另加一个特别号码。中奖号码情况如下所示(假设一等奖号码是123456，特别号码是7)：奖级 中奖号码 每注奖金特等奖 123456+7 不一定一等奖 123456 不一定二等奖 12345、23456 不一定三等奖 1234、2345、3456 300元四等奖 123，234、345、456 20元五等奖 12、23、34、45、56 5元3.1中奖概率以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率：特等奖 P0 =
12、 1/10000000 = 0.0000001一等奖 P1 = 1/1000000 = 0.000001二等奖 P2 = 20/1000000 = 0.00002三等奖 P3 = 300/1000000 = 0.0003四等奖 P4 = 4000/1000000 = 0.004五等奖 P5 =50000/1000000 = 0.05合起来，每一注总的中奖概率为：P = P0+ P1+ P2 +P3+ P4+ P5 = 0.0543211这就是说每1000注彩票约有54注中奖(包括五等奖到特等奖)3.2彩票中奖的期望值从理论上讲彩票奖金的返还率50%，所以每一注彩票的期望值应该是1元。现在，我们
13、来实际计算一下，看是否如此。体育彩票各奖级的概率、奖金数额列如下：奖级 中奖概率 每注奖金特等奖 00000001 2500000(元)一等奖 0000001 50000(元)二等奖 000002 5000(元)三等奖 00003 300(元)四等奖 0004 20(元)五等奖 005 5(元)期望值 E = 0.00000012500000+0.00000150000+0.00025000+0.0003300+0.00420+0.0550.82(元)即每一注体育彩票中奖的期望值约为0.82元。这与理论值1元相差不大，误差的原因主要是对前三级奖金的估计不够精确。4 医疗问题在某地区进行某种疾病
14、普查，为此要检验每个人的血液，如果当地有N个人，若逐个检验就需要检验N次，现在要问：有没有办法减少检验的工作量？我们先把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起进行检验，如果检验的结果为阴性，这说明k个人的血液全为阴性，因而这k个人总共只要检验一次就够了，检验的工作量显然是减少了，但是如果检验的结果是阳性，为了明确k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人检验的总次数为k+1次，检验的工作量反而有所增加，显然，这时k个人需要的检验次数可能只要1次，也可能要检验k+1次，是一个随机变量，为了和老方法比较工作量的大小，应该求出它的平均值（也是平均检验次
15、数）。在接受检验的人群中，各个人的检验结果是阳性还是阴性，一般都是独立的（如果这种病不是传染病或遗传吧遗传病），并且每个人是阳性结果的概率为p，就是阴性结果的概率为q=1-p，这时k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为,呈阳性结果的概率则为1,现在令为k个人一组混合检验时每人所需的检验次数，由上述讨论可知的分布列为：1+P1-由此即可求得每个人所需得平均检验次数为E=.+（1+）（1-）=1-+而按原来得老方法每人应该检验1次，所以当1-+1，即q时，用分组的办法（k个人一组）就能减少检验的次数，如果q是已知的，还可以从E=1-+中选取最合适的整数，使得平均检验次数E达到最小值，从而使平均检验次数减少。对一些不同的p值，如下表给出了使E达到最小的值。
