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1、个人收集整理勿做商业用途第63讲两条直线的相交一、考纲要求1. 熟练掌握利用直线方程求两条直线的交点坐标，理解“用方程组的解分析两直线的位置关系”是从“数”到“形”的基本数学方法；2会利用直线方程解决有关距离、最值等问题，注重图形的几何性质在解题中的运用；3.了解简单的直线对称问题 ，会求已知直线关于点或直线的对称直线的方程。二、知识梳理回顾1、阅读课本必修 2第84至第87内容，弄清两直线位置关系与它们的方程组成方程组解的个数之间的联 系。2、回顾初中数学两条直线平行、垂直、对称等知识，熟悉平面几何中两直线平行及垂直的判断方法与性质。3、回顾初中数学关于图形的折叠和旋转等知识，理解中心对称和
2、轴对称的概念和性质。解析：1、两条直线相交是两条直线普遍的位置关系，用方程组求两条直线的交点坐标既是初中知识的连续，也是研究两条直线位置关系的深化；2、在处理平行与垂直问题时 ，有时借助平面几何知识会使问题简化。充分体现了数形结合的思想；3、直线关于直线的对称问题一般转化为点关于直线的对称点问题进行处理。在具体问题中，直线和点都 具有特殊性，要充分利用它们的特殊性解决问题。三、诊断练习1、 教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。课上讲学生的解答进行实物投影，将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮
3、助学生内化知识，初步形成能力点评时要简洁，要点击要害2、诊断练习点评题1。平行直线3x 4y 10与6x my 19的距离为。【分析与点评】利用平行得m 8，可以从一条直线上取一点，求点到直线的距离，也可将两直线x,y化为一致，利用公式dC1 C2 1来计算得这两条平行直线之间的距离为。QA B210题2 过点（10,0）作直线l与直线2x y 0垂直，则垂足的坐标为 。【分析与点评】（1 ）强调如何求解过已知一点且与已知直线垂直（平行）的直线方程；（2 ）两条直线的交点坐标即为两条直线所对应的两个二元一次方程组成的方程组的公共解2x y 0由解得垂足的坐标为2,4。x 2y 10 0题3 若
4、直线l的斜率为 3，则丨关于直线yx对称的直线丨的斜率是。43 【分析与点评】本题的倾斜角比较特殊，可考虑通过画图观察得丨的斜率为 -。31 变式1：直线l: y x 1,则丨关于直线yx对称的直线丨为。2变式2:直线丨：y x 1，则丨关于直线y x对称的直线丨为。引导学生归纳求直线关于直线对称的直线的一般步骤，核心是点关于直线的对称点的求解，由此得变式1的答案为y 2x 2，变式2的答案为y x 1。题4 设11的倾斜角为，0，, 11绕其上一点2丨2绕点P沿逆时针方向旋转角，得直线丨3 : x2【分析与点评】由题意可得丨1与I3垂直，故得直线P沿逆时针方向旋转角得直线丨2，丨2的纵截距为
5、 2 ,2y 1 0，则h的方程为。丨1的斜率为2，从而tan 2，故直线I?的斜率为个人收集整理勿做商业用途k tan 24，由此得直线12的方程为y34922孑2，将它与13联立解得点P的坐标为5, y由此得直线11的方程为y2255，即2x 8。3、要点归纳(1 )强化数形结合的意识，重视“形”在“数”求解中的作用，辅助分析，帮助理解。(2 )会判断两条直线的位置关系，并且能利用这种关系进行相关直线的求解;(3)理解对称就是平行，垂直，交点，中点问题的综合。四、范例导析例1、正方形一个顶点的坐标为A(1,2)，中心坐标为 0( 1, 1)，求它的四边所在的直线方程。【教学处理】 让学生自
6、己完成，并且选择部分学生的解答进行实物展示，由其他学生交流讨论， 对解答过程进行点评，教师要及时作出总结，示范平行、垂直与点到直线距离的求解步骤、方法。【引导分析与精讲建议】1、对本题分析时，可以先提出以下问题问题1 ：确定一条直线一般需要几个条件？本题的条件够吗？通过上述问题的交流，让学生认识到，对于解析几何中的常见问题之一，求直线方程，要熟悉他的一般解法，设点或设斜率。并提示学生设斜率时，要考虑斜率的存在性问题2 :正方形的中心坐标这个条件怎么用？正方形的顶点和边与中心坐标有什么样的位置关系？通过该问题的交流，引导学生认识正方形的图形性质，并且指出平几图形的性质在解题中的应用是近年高考数学
7、试卷中的常见问题问题3 :在利用中心到直线距离公式时，公式中分子的绝对值符号有什么样的方法可以去掉？通过该问题的交流，联系线性规划的知识。解题思路一：设 AB，AD边所在直线方程为 y 2 k(x 1)( k存在)，正方形中心0( 1，1)到它们的距离为|32? 工26，得k5或k 1，即得直线AB，AD。V1 k225由点C与A关于点O对称，得C( 3, 4)，利用垂直或平行即可得直线 CB,CD。 解题思路二：利用直线 CB,CD与与直线AB, AD关于点O对称，求得直线CB,CD。【变式】：ABC的顶点B(3,4)，AB边上的高CE所在直线方程为2x 3y 160，BC边上的中线 AD所
8、在直线方程为2x 3y 10，求AC的长。【点评】：变式题中给出是高与中线，可结合图形指出如何借助于斜率关系，中点坐标求直线。例2 :在直角坐标系中，射线OA:x y 0 x 0 ， OB: 3x 3y0x0 ,过点P 1,0作直线丨分别交射线OA,OB于点 代B。(1) 当AB的中点为P时，求直线AB的方程；1(2) 当AB的中点在直线y - x上时，求直线AB的方程。2【教学处理】 要求学生独立思考并解题，老师巡视指导了解学情；选择部分学生的 解答进行实物展示，并结合展示情况进行点评。对解答过程过程的关键， 如何利用AB的中点所满足的条件与学生交流或进行讲解，并示范板书。【引导分析与精讲建
9、议】个人收集整理勿做商业用途1强调用斜率设直线时，要考虑斜率的存在性;2、可提出以下问题与学生交流 ：问题1 :确定直线位置的几何要素有哪些？（两个点、一点和方向）问题2 :本题已经有一个要素（点 P 1,0），那么另一要素你选择什么？问题3 :若另一要素选择另一点，比如点 A a,b，则它在OA上，从而a b 0 ,那么你能找到 A点满足 的另一个条件吗？解法一：因为AB的中点为P 1,0，故B 2 a, b，它在OB上，故3 2a 3b 0，与上式联立解得问题4:若另一要素选择“方向1.3，直线l方程为y斜率k，首先要注意什么1 J3 x ,3 1。?（分类讨论）此时，你如何处理本题?（解
10、法显然直线l垂直于x轴时，不成立，故设直线I的方程为y k x 1分别与l1,l2的方程联立成方程组， 解得kkkklyA, yB ，从而0,故k 0（不合题意，舍去）或k . 3 1，下同解k 13k 1k 1 3k 1法一）问题5:第（2 ）题能用类似的方法去解决吗？【变式】：已知直线I被直线h：4x y 6 0和I2 ：3x 5y 6 0截得的线段中点恰好是坐标原点，求直线I的方程【点评】：这里变式题可仿照上题求出交点，利用中点坐标公式求解；也可先设出h上的交点，再用中点坐标公式求出I2上的交点，禾U用该点在线上，即得。例3 .已知y 2x是 ABC中 C的内角平分线所在直线的方程，设A
11、（ 4,2）, B（3,1）。求点A关于y 2x的对称点P的坐标；求直线BC的方程；判断 ABC的形状。【教学处理】指导学生回顾角平分线的相关结论和图形特征，画图并独立思考，实物展示，教师点评并板书解题过程。【引导分析与精讲建议】可提出以下问题与学生交流：问题1 ：第问完成后，求直线 BC的条件够了吗？问题2 :判断三角形的形状有哪些手段 ？【变式】：在 ABC中,A（3, 1）, AB边中线：6x 10y 59 0, B的平分线：x 4y 10 0，求BC边所在直线方程【点评】：由 B的平分线设点B坐标，可以得 AB中点，该点在 AB边中线上求出点 B，再利用CA,CB关于 B的平分线：x
12、4y 10 0对称求出A的对称点，该点在BC上，得BC边所在直线方程。五、当堂反馈个人收集整理勿做商业用途1、若两条直线xmy120和 2x 3ym 0的交点在y轴上,则m。【分析与点评】令x120,分别得yFm及y，从而得12m ”，解得m6。m3m32、若直线kx y10和x ky 0相交，且交点在第二象限，则k的取值范围是【分析与点评】由两个方程联立成方程组解得交点坐标为 值范围是1,0。，从而k1 k211 k20，故k的取03、直线x 2y 30与直线ax 4y b 0关于点A 1,0对称，则b 【分析与点评】设M x, y是直线ax 4y b0上任意一点，则它关于点A 1,0对称的
13、点为N 2 x, y ，它在直线x 2y 30 上，故 2 x 2y 30，即 x 2y 10 ,它即为直线ax 4y b 0 ,从而 b 1.4、直线h：x y 、3 10绕着点1,-.3沿逆时针方向旋转15得到直线12，则直线12的方程为。【分析与点评】 直线11的倾斜角为45，故直线12的倾斜角为60，则直线12的斜率为 3，故直线12的方程 为 y 、33 x 1，即为 y 、3x.六、解题反思1、 直线是解析几何中最基本的元素，强化设直线的方法与注意斜率存在性。2、 处理解析几何问题时，要善于利用几何图形的图形特征，简化计算。3、 认识到直线相交与解一元二次方程组的关系，体会方程是直线的方程，直线是方程的直线.（执笔：江苏省高邮中学邹广银）
