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1、.第二章习题参考解答2.1 求下列系统的阶跃响应和冲激响应。 解 当激励为时,响应为,即：由于方程简单,可利用迭代法求解：, , ,由此可归纳出的表达式：利用阶跃响应和冲激响应的关系,可以求得阶跃响应： 解 求冲激响应,当时,。特征方程 ,解得特征根为。所以：通过原方程迭代知,代入式中得：解得, 代入式：可验证满足式,所以：求阶跃响应通解为 特解形式为 ,代入原方程有 , 即完全解为 通过原方程迭代之,由此可得解得,。所以阶跃响应为： 解 解 当t0时,原方程变为：。将、 式代入原方程,比较两边的系数得：阶跃响应：2.2 求下列离散序列的卷积和。 解 用表格法求解 解 用表格法求解和 如题图所
2、示 解 用表格法求解 解 解 解 参见右图。当时：当时：当时：当时：当时： , 解 参见右图：当时：当时：当时：当时：当时： , 解 参见右图当时：当时：当时：当时： , 解 , 解 或写作：2.3 求下列连续信号的卷积。 , 解 参见右图：当时： 当时：当时：当时：当时：当时： 和 如图所示 解 当时：当时：当时： 当时： 当时： , 解 , 解 , 解 参见右图。当时：当时： 当时： 当时： , 解 , 解 , 解 , 解 2.4 试求题图2.4示系统的总冲激响应表达式。解 2.5 已知系统的微分方程及初始状态如下,试求系统的零输入响应。 ； 解 , ； ,解 ,可定出 ； ,解 ,可定出
3、2.6 某一阶电路如题图2.6所示,电路达到稳定状态后,开关S于时闭合,试求输出响应。解 由于电容器二端的电压在时不会发生突变,所以。根据电路可以立出时的微分方程：, 整理得 齐次解：非齐次特解：设 代入原方程可定出, 则：2.7 积分电路如题图2.7所示,已知激励信号为,试求零状态响应。解 根据电路可建立微分方程：当时：由可定出 ,根据系统的时不变性知,当时： 当时：2.8 求下列离散系统的零输入响应。 ； ,解 由,可定出, ； ,解 由,可定出. ； ,解 特征方程,由 可定出2.9 求下列离散系统的完全响应。 ； 解 齐次方程通解：非齐次方程特解： 代入原方程得：由 可定出 ； ,解
4、齐次方程通解：非齐次方程特解： 代入原方程定出 由 可定出 2.10 试判断下列系统的稳定性和因果性。 解 因果的；稳定的。 解 因为冲激响应不满足绝对可和条件,所以是不稳定的；非因果的。 解 稳定的,非因果的。 解 不稳定的,因果的。 解 不稳定的,因果的。 解 时： 不稳定的,因果的；时： 稳定的,因果的；时： 不稳定的,因果的。 解 不稳定的,非因果的。 解 稳定的,非因果的。2.11 用方框图表示下列系统。 *2.12 根据系统的差分方程求系统的单位脉冲响应。 解 当时： , 由原方程知当时：,由此可定出 解 当时： 齐次方程的通解为,由原方程迭代求解可得为：由此可以定出*2.13 根
5、据系统的微分方程求系统的单位冲激响应。 解 当时：,代入原方程可确定 解 当时：代入原方程,比较两边系数得： *2.14 试求下列系统的零输入响应、零状态响应、强迫响应、自由响应。 ；,解 求强迫响应： 假设特解为：代入原方程,可定出； 则强迫响应 求自由响应：利用冲激平衡法可知：可定出；所以完全解形式：,由定出即完全响应为：所以自由响应为：求强迫响应： 假设特解为：代入原方程,可定出； 则强迫响应 求零输入响应：由 可定出求零状态响应 零状态响应自由响应强迫响应零输入响应 综上所求,有： ；,解法一 用z变换求解。方程两边进行z变换,则有：解法二：时域解法。求强迫响应：当时： 即为常值序列,
6、 设特解为,代入原方程可定出当时：仅在激励作用下,由原方程知,即：特解在时均满足方程。求自由响应：完全解：由经迭代得：由可定出完全解中系数为：则自由响应分量为：零输入响应：由 可以定出：零状态响应：*2.15 试证明线性时不变系统具有如下性质： 若系统对激励的响应为,则系统对激励的响应为； 若系统对激励的响应为,则系统对激励的响应为。证 已知,根据系统的线性试不变性有：；令,则有：证 已知,根据系统的线性试不变性有：令 则,所以 证毕。*2.16 考察题图2.16所示系统,其中开平方运算取正根。 求出和之间的关系； 该系统是线性系统吗,是时不变系统吗？ 若输入信号是题图2.16所示的矩形脉冲,
7、求响应。解 由系统框图可得 由输入一输出关系可以看出,该系统不满足可加性,故系统是非线性的。又因为当输入为时,输出为,故系统是时不变的。 由输入一输出关系,可以求得输出为图示波形。*2.17 一个线性系统对的响应为, 该系统是否为时不变系统？ 该系统是否是因果系统？ 若 a；b,求该系统对每个输入的响应。解 当时,输入为输出为当时,输入为输出为显然 ,是时变系统。 当时,如显然,响应出现于激励之前,所以是非因果系统。 因为不是LTI系统,所以输出响应不能用来计算。对于线性时变系统,输出响应可求解如下： 任意信号仍可分解为冲激函数的和,即有：因为这里是的二元函数由于系统为线性的,故有：对于此例有
8、,当时： 注意：即 当时：第三章习题参考解答3.1 求下列信号展开成傅里叶级数,并画出响应相应的幅频特性曲线。解 解 解 解 3.2 求题图3.2所示信号的傅里叶变换。解 解 设,由傅氏变换的微积分性质知：解 利用傅氏变换性质知：解 或解 解 3.3 若已知,试求下列信号的傅里叶变换。 解 解 解 解 解 解 令 则有：, ,3.4 在题图3.2中取,将进行周期为的周期延拓,得到周期信号,如题图3.4所示；取的个周期构成截取函数,如题图3.4所示。 求周期信号傅里叶级数系数； 求周期信号的傅里叶变换； 求截取信号的傅里叶变换。解 设单个三角波脉冲为,其傅里叶变换根据傅里叶级数和傅里叶变换之间的
9、关系知： 由周期信号的傅里叶变换知： 因为3.5 绘出下列信号波形草图,并利用傅里叶变换的对偶性,求其傅里叶变换。 提示：参见脉冲信号和三角波信号的傅里叶变换解,根据对偶知：解3.6 已知的波形如题图3.6所示, 画出其导数及的波形图； 利用时域微分性质,求的傅里叶变换； 求题图3.6所示梯形脉冲调制信号的频谱函数。解及的波形如下： 3.7 求下列频谱函数的傅里叶逆变换。解 解 解 解 解 又由、式可知： 解 *3.8 设输入信号为,系统的频率特性为,求系统的零状态响应。解 3.9 理想低通滤波器的幅频特性为矩形函数,相频特性为线性函数,如题图3.9所示。现假设输入信号为的矩形脉冲,试求系统输
10、出信号。解 利用傅里叶变换的对称性,可以求得该系统的冲激响应为： ,令得：其中：3.10 在题图3.10所示系统中,采样信号如图 所示,是一个正负交替出现的冲激串,输入信号的频谱如图所示。 对于,画出和的频谱； 对于,确定能够从中恢复的系统。解由此可以绘出及的频谱图如下： 从的频谱可以看出,由恢复的系统如图所示:3.11 在题图3.11所示系统中,已知输入信号的傅里叶变换如题图所示,系统的频率特性和分别如图和图所示,试求输出的傅里叶变换。解： 参见题图的标注。*3.12 在题图3.12所示的滤波器中,。如果滤波器的频率特性函数满足： 则称该滤波器为信号的匹配滤波器。 若为图所示的单个矩形脉冲,
11、求其匹配滤波器的频率特性函数； 证明图所示系统是单个矩形脉冲的匹配滤波器； 求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的冲激响应,并画出的波形； 求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的输出响应,并画出的波形。解 解 参见图标注.又 , 即与中有相同的函数形式。解 ,解 为一三角波*3.13 求题3.1中和的功率谱密度函数。解 参见3-1题。首先推出周期信号功率谱密度函数的表达式：周期信号的傅里叶变换为：其中是傅里叶级数展开式系数。考虑截取信号：根据频域卷积定理,截取信号的傅里叶变换为：当时,趋向于集中在处,其他地方为零值,所以功率谱密度函数为：由于,所以：由此可求题给信号的功率谱密度函数：解 *3.14 求题3.2中和的能量谱密度函数。解 设的能量谱密度函数为,。设的能量谱密度函数为,。*3.15 信号的最高频率为500Hz,当信号的最低频率分别为0,300Hz,400Hz时,试确定能够实现无混叠采样的最低采样频率,并解释如何从采样后信号中恢复。解 ,所以 ,取当代入式中可知,只有当不等式才能成立：,所以采样频率只能取Hz。 , 当代入式中可知,当不等式成立：,所以最低采样频率。*3.16 正弦信号的振幅电平为V,现采用12位的量化器进行舍入式量化,求量化误差的方均根值和量化信噪比。解 ,；,；
