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1、PCC2CnFVnFV c ( 11n )FVn1 r(1 r )(1 r )(1 r )rr (1 r )(1 r )Theorem 1: Bond prices move inversely to the yield to maturity of bonds.P 对 r 示导得：dPFVc(1drr2FVc(1r2FVc(1r )(1 r )nr n (1 r )n 1)FV nr 2 (1 r )2n(1 r )n 1(1r )rnFVnr2(1r )n1 )r )n 1(1rn(1r ) n 1FVnr 2 (1 r ) n 1(1 r )n 1式子第二项小于0，因此要证明第一项小于0
2、 即可，即证明分子部分小于0：(1 r ) r n(1 r )n 1(1rrn)(1r )(1r ) n(1rrn)(1r )(1Cn1 rCn2r 2)(1rrn)(1r )(1nr)(1rrn)(1nr rnr 2)(nr 2)0所以有： dP0 ，即债券价格与到期收益率反向变动。drTheorem 2. For a given change inyieldto maturityfromthe nominalyield, the changein bond prices are greater, the longer is the term to maturity.当 c r 时， PFV
3、 ，当 r 发生变动时，(1) 如 r 变小，由原理 1 可知债券价格 P 会上升，此时债券价格变动数值为：P FV c(11n )FVFVrr(1r)(1r)nP 的大小与 n 的关系体现在FVcFV，r(1r)n(1r) n令 f (n)FVFVcr) nr(1r)n(1对其求导得：f(n)FV( crr )ln(1r)(1r)n上式的符号由cr 决定，前面假设r 变小，所以cr0 ，因此 f ( n)0 。即 n 越大，P 增加得越多。(2) 如 r 变大，由原理 1 可知债券价格 P 会下降，此时债券价格变动数值为：P FV FV11)FVc (r(1r)nr)nr(1P 的大小与 n
4、 的关系体现在FV cFV，(1r)n(1 rr)n同样令 f (n)FVcFV(1r) n(1r)nr对其求导得： f(n)FV( rc)ln(1r)r(1r)n由于前面假设 r 变大，所以 r c0 ，因此 f(n)0 。即 n 越大， P 增加得越多。Theorem 3: The percentagechange describedin theorem 2 increasesat a diminishingrate as the time to maturity increases.随着时间的增加，P 的数值越来越大，但增加的部分越来越少。即求其二阶导。(1) 如 r 变小， 此时 f(
5、n)FV( cr )ln(1rn) 0，r(1r)f (n)FV ( c r )ln 2 (1 r)0r(1r)n(2) 如 r 变大，此时 f(n)FV( rc)ln(1r)r(1r)nf (n)FV ( r c)ln 2 (1 r)0r(1r) n因此原理3 成立。Theorem 4: Price movements resulting from equal absolute (or, what is the same,from equal proportionate) increases and decreases in the yield to maturity areasymmetr
6、ic; that is, a decrease in yield to maturity raises bond prices more thanthe same increase in yield to maturity lowers prices.收益率相同的增加或减少时，债券价格的变动是不对称的。收益率的减少导致的债券价格增加超过收益率的增加导致的债券价格的减少。由原理 1 已知 dP0 ，所以我们要证明d 2 P0drdr 2d2 P FVc1(1r )dr 2(2r 2 (1rFVc 2(n 1)(1r 3FVc2(1r ) n 2(nrnFV nr )n1 )(1r )n1 r )
7、r(1rnr )(23r nr ) r 3 (1r ) n21)(1 r ) r(1rnr )(2 3rr 3 (1r ) n 2FVn (n1)(1r )n 2nr )FVn ( n 1) r 3上式的符号由分子决定，即FVc 2(1r )n 2(n 1)(1 r ) r(1rnr )(23rnr )FV n (n1)r 3决定。这个式子中，最后一项大于0，因此只要 部分大于0 即可，该部分为：2(1r )n 2(n1)(1r ) r(1 rnr )(23rnr )2(1r )2 (1nrn( n 1)r 2 )( nrnr 2r r 2 ) (25r3nr 4nr 23r 2n2r 2 )
8、2(24r 2nr3nr 22r 2n2r 2 )(24r2nr3nr 22r 2n2r 2 )0d 2 P因此有：0dr 2Theorem 5: The higher is the coupon carried by the bond, the smaller will be thepercentage price fluctuations for a given change in the yield to maturity exceptfor one year securities and consols.息票率越高，债券价格变化的百分比越小。设dP(1 r ) r n (1 r )n 1FV nf (c)FV c2 (1 r )n 1(1 r )n 1drr故有：(1r )rn(1r )n 1f (c) FVr2 (1r )n 1前面已经证明 (1r )rn(1r )n 10 ，故 f (c) 0因此，息票率越高，债券价格变化的幅度越小。设原来债券价格为PFVc ( 1r1r )n )(1FVn ，后来债券收益率下降，则r(1r )价格变为 PFVc11)FV(r) (1 r)n(1 r) nr债券价格变动百分比为：P1。PP
