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1、第6课时 矩形的判定（练习本）一、变式强化：1（原创题）下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形； （ ）（2）四个角都相等的四边形是矩形； （ ）（3）对角线相等的四边形是矩形； （ ）（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （ ）（5）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ）2（改编题）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)【答案】A=90或B=90或C=90或D=90或AC=BD(答案不唯一，写出一种即可)3（改编题）如图，在ABCD中，E、F为BC两点，且BEC
2、F，AFDE求证：四边形ABCD是矩形思路：易证四边形ABCD是平行四边形，再利用SSS证明ABFDCEB=C，四边形ABCD是平行四边形，ABCDB+C=180B=C=90，四边形ABCD是平行四边形，且B=90，四边形ABCD是矩形二、例题变式4（改编题）P22页例5变式题1：已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H求证：四边形EFGH是矩形【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DAB+ABC=180，AH，BH分别平分DAB与ABC，HAB=DAB，HBA=ABC，HAB+HBA=90，H=90，同理HEF=F=90，四边形EFGH是矩形【说明】本题
3、是将例5的“图形”和“条件”两个维度进行变式，但与例5的解题策略相仿，都是证明三个内角是直角，再利用“三个角是直角的四边形是矩形”来解决问题；通过本题和例5同学们要掌握从“直角”思路证明矩形的常用方法5 P22页例5变式题2：（改编题）如图，在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作RtACE，且BED为直角求证：四边形ABCD是矩形【解答】证明：连接EO，四边形ABCD是平行四边形，AO=CO，BO=DO，在RtEBD中，O为BD中点，EO=BD，在RtAEC中，O为AC中点，EO=AC，AC=BD，又四边形ABCD是平行四边形，平行四边形ABCD是矩形【说明】本题是主要将例5的“策略”进行变式
4、，它需要同学们先作辅助线，再从“对角线相等”思路来证明矩形，可见，本例是对变式1的进一步补充，同时也弥补了教材例题的不足三、习题变式：6P23页练习题3的变式题：（改编题）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图），使ABCD，EFGH； 摆放成如图的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ； 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ；【解答】（2）平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形【说明】
5、此题主要考查了平行四边形和矩形的判定，为最基本的知识点，难易程度适中同学们特别要注意用数学之眼看社会、世界，着力培养自身的数学应用意识四、思维提升7(改编题) 如图，在ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MNBC.设MN交BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论【解答】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形 证明：CE平分BCA,1=2， 又MNBC, 1=3，3=2，EO=CO. 同理，FO=CO EO=FO又OA=OC, 四边形AECF是平行四边形 又1=2，
6、4=5，1+5=2+4 又1+5+2+4=1802+4=90四边形AECF是矩形【说明】 “运动问题”中需要在运动变化中寻找不变关键证明OE=OF,然后根据细心观察，从一般到特殊,找出使结论成立时点O的特殊位置AC的中点整个解决问题过程中，数学知识矩形的判定、解题策略从变中找不变、数学思想一般到特殊，这些问题同学们要不断地积累知识、经验，逐渐驾轻就熟五、中考链接8（2011 南京中考题）如图，将ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点FABCDEF 求证：ABFECF若AFC=2D，连接AC、BE求证：四边形ABEC是矩形【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD
7、,AB=CDABF=ECF.EC=DC, AB=EC在ABF和ECF中，ABF=ECF，AFB=EFC，AB=EC，ABFECF（2）解法一：AB=EC ，ABEC，四边形ABEC是平行四边形AF=EF， BF=CF四边形ABCD是平行四边形，ABC=D，又AFC=2D，AFC=2ABCAFC=ABF+BAF，ABF=BAFFA=FB FA=FE=FB=FC, AE=BC口ABEC是矩形解法二：AB=EC ，ABEC，四边形ABEC是平行四边形四边形ABCD是平行四边形，ADBC，D=BCE又AFC=2D，AFC=2BCE，AFC=FCE+FEC，FCE=FECD=FECAE=AD又CE=DC
8、，ACDE即ACE=90口ABEC是矩形【说明】证明矩形的思路有三条，本题有两种证明方法，主要考查了全等三角形、等腰三角形、平行四边形的性质、判定和矩形的判定等数学知识，而这些知识经常“结伴”出现同学们需要学会一题多解，灵活、综合运用这些数学知识六、创设新情景9（改编题）阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8所示，矩形ABEF即为ABC的“友好矩形”. 显然，当ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角
9、形的“友好平行四边形”；(2) 如图8，若ABC为直角三角形，且C=90，在图8中画出ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3) 若ABC是锐角三角形，且BCACAB，在图8中画出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明. 【解答】(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”. (2) 此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于ABC面积的2倍， ABC的“友好矩形”的面积相等. (3) 此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小 . 证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c . L1- L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)， 而 abS，ab， L1- L20，即L1 L2 . 同理可得，L2 L3 . L3最小，即矩形ABHK的周长最小. 【说明】本题依托矩形为背景的“新定义题型”，让人耳目一新，但题干较长，需要学生有一定的阅读理解能力和探究知识的能力
