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1、矩阵及其运算矩阵的概念1、形如、这样的矩形数表叫做矩阵。2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量称为列向量；由个行向量与个列向量组成的矩阵称为阶矩阵，阶矩阵可记做，如矩阵为阶矩阵，可记做；矩阵为阶矩阵，可记做。有时矩阵也可用、等字母表示。3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个阶矩阵中的第（）行第（）列数可用字母表示，如矩阵第3行第2个数为。4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如为一个阶零矩阵。5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有行（列），可称此方阵为阶方阵，如矩阵、均为三阶方阵。在一个阶方阵中
2、，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵为2阶单位矩阵，矩阵为3阶单位矩阵。6、如果矩阵与矩阵的行数和列数分别相等，那么与叫做同阶矩阵；如果矩阵与矩阵是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵与矩阵叫做相等的矩阵，记为。7、对于方程组中未知数的系数按原来的次序排列所得的矩阵，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵叫做方程组的增广矩阵。应用举例：例1、已知矩阵且，求、的值及矩阵。例2、写出下列线性方程组的增广矩阵：（1）； （2）例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：（1） （2）例4、已知矩阵为单位矩阵，且
3、，求的值。矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行或两列；（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。 显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。应用举例：例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组的解。例2、运用矩阵变换方法解方程组：（、为常数）课堂练习：用矩阵变换方法解下列问题：（1）若方程组的解与相等，求的值。（3）解方程组：矩阵运算 （对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内
4、容.） 1相等 定义 如果两个矩阵，满足： (1) 行、列数相同，即 ； (2) 对应元素相等，即aij = bij (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )，则称矩阵A与矩阵B相等，记作 A = B （由矩阵相等定义可知，用等式表示两个mn矩阵相等，等价于元素之间的mn个等式.）例如，矩阵A =， B = 那么A = B，当且仅当a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4 而C = 因为B, C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C中的元素c11, c12, c21, c22取什么数都不会与矩阵B相等.2加法定义2.3 设
5、，是两个mn矩阵，则称矩阵C = 为A与B的和，记作C = A + B = （由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =称D为A与B的差.例1 设矩阵A =， B =，求A + B，A - B. 例2、矩阵，若，求的值。 矩阵加法满足的运算规则是什么？ 设A, B, C, O都是mn矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A
6、； 4. 存在矩阵-A，满足：A -A = A + (-A ) = O . 3数乘 定义2.4 设矩阵，为任意实数，则称矩阵为数与矩阵A的数乘，其中，记为C =A （由定义2.4可知，数乘一个矩阵A，需要用数去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当 = -1时，A = -A，得到A的负矩阵.） 例3 设矩阵A =，用2去乘矩阵A，求2A. 数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数k , l和矩阵A = ，B =满足以下运算规则： 1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA； 3. 数与矩阵的结合律：( k l )
7、 A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 数1与矩阵满足： 1A = A. 例4 设矩阵 A =，B =，求3A - 2B. 4乘法 矩阵乘积的定义 设A=是一个ms矩阵，B=是一个sn矩阵，则称mn矩阵C =为矩阵A与B的乘积，记作 C = AB.其中cij = ai1b1 j + ai2b2 j + + ai s bs j = (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n ). （由矩阵乘积的定义可知：） (1) 只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A, B才能作乘法运算AB； (2) 两个矩阵的乘积AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B
8、的列数； (3) 乘积矩阵AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则. 例6 设矩阵 A = ， B = ，计算AB. 例7 设矩阵 A = ，B =， 求AB和BA. 由例6、例7可知，当乘积矩阵AB有意义时，BA不一定有意义；即使乘积矩阵AB和BA有意义时，AB和BA也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变. 在例6中矩阵A和B都是非零矩阵（AO, B O ）,但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一个零矩阵（AB = O），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB = O，不能得出A和
9、B中至少有一个是零矩阵的结论. 一般地，当乘积矩阵AB = AC，且AO时，不能消去矩阵A，而得到B = C.这说明矩阵乘法也不满足消去律. 那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？ 矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB）C = A（BC）； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + CA； 3. 数乘结合律：k（AB）= （k A）B = A（k B），其中k是一个常数.例8：已知，矩阵，求。练习：计算下列矩阵的乘法（1）；（2）。 例9、已知矩阵，若A=BC，求函数在1,2 上的最小值.例10：将下列线性方程组写成矩阵乘法
10、的形式（1）；（2）。例11：若，矩阵就称为与可变换，设，求所有与可交换的矩阵。课堂练习与课后作业一、选择题1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件是 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组其中正确的是（ ）A、 B、C、 D、3、若，且，则矩阵_.4、点A（1，2）在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标是_5、已知是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么a+b= .6、若点A在矩阵对应的变换作用下得到的点为（1，0），那么= .7、若点A在矩阵对应的变换作用下下得到的点为（2，4），那么点A的坐标为 .8、已知，若A=B，那么+= .9、设A为二阶矩阵，其元素满足，i=1，2，j=1，2，且，那么矩阵 A= .10：，且，那么A+AB= 。 11、一个线性方程组满足，系数矩阵为单位矩阵，解为1行3列的矩阵，那么该线性方程组为 。12、计算:若矩阵，则_.13、计算：= .14.线性方程组对应的系数矩阵是_，增广矩阵是_.15、已知矩阵，则_.二、简答题1.已知，分别计算，猜测；2.将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解:；.3.若，则_4、已知矩阵，若A=BC，求函数在上的最小值.
