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1、第3课时导数在不等式中的应用考点一构造函数证明不等式【例1】 已知函数f(x)1，g(x)xln x.(1)证明：g(x)1；(2)证明：(xln x)f(x)1.证明(1)由题意得g(x)(x0)，当0x1时，g(x)1时，g(x)0，即g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，)上是增函数.所以g(x)g(1)1，得证.(2)由f(x)1，得f(x)，所以当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)在(0，2)上是减函数，在(2，)上是增函数，所以f(x)f(2)1(当且仅当x2时取等号).又由(1)知xln x1(当且仅当x1时取等号)，且等号不同时取得，所以(xln x)f(x)1.
2、规律方法1.证明不等式的基本方法：(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，有f(a)f(x)f(b)，x1，x2a，b，且x1x2，有f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则xD，有f(x)M(或f(x)m).2.证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)g(x)max，则f(x)g(x)”证明不等式【例2】 已知函数f(x)xln xax.(1)当a1时，求函数f(x)在(0，)上的最值；(2)证明：对一切x(0，)，都有ln x1成立.(1)解函数f(x)xln xax的
3、定义域为(0，).当a1时，f(x)xln xx，f(x)ln x2.由f(x)0，得x.当x时，f(x)时，f(x)0.所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.因此f(x)在x处取得最小值，即f(x)minf，但f(x)在(0，)上无最大值.(2)证明当x0时，ln x1等价于x(ln x1).由(1)知a1时，f(x)xln xx的最小值是，当且仅当x时取等号.设G(x)，x(0，)，则G(x)，易知G(x)maxG(1)，当且仅当x1时取到，从而可知对一切x(0，)，都有f(x)G(x)，即ln x1.规律方法1.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数的最
4、值问题.2.在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)ming(x)max恒成立.从而f(x)g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”.【训练2】 已知三次函数f(x)的导函数f(x)3x23且f(0)1，g(x)xln x(a1).(1)求f(x)的极值；(2)求证：对任意x1，x2(0，)，都有f(x1)g(x2).(1)解依题意得f(x)x33x1，f(x)3x233(x1)(x1)，知f(x)在(，1)和(1，)上是减函数，在(1，1)上是增函数，所以f(x)极小值f(1)3，f(x)极大值f(1)1.(2)证明易得x0时，f(x)最大值1，由a1知，g(x
5、)xln x(x0)，令h(x)xln x(x0)，则h(x)ln x1ln x，注意到h(1)0，当x1时，h(x)0；当0x1时，h(x)0，即h(x)在(0，1)上是减函数，在(1，)上是增函数，h(x)最小值h(1)1，即g(x)最小值1.综上知对任意x1，x2(0，)，都有f(x1)g(x2).考点三不等式恒成立或有解问题多维探究角度1不等式恒成立求参数【例31】 已知函数f(x)(x0).(1)判断函数f(x)在区间上的单调性；(2)若f(x)a在区间上恒成立，求实数a的最小值.解(1)f(x)，令g(x)xcos xsin x，x，则g(x)xsin x，显然，当x时，g(x)x
6、sin x0，即函数g(x)在区间上单调递减，且g(0)0.从而g(x)在区间上恒小于零，所以f(x)在区间上恒小于零，所以函数f(x)在区间上单调递减.(2)不等式f(x)a，x恒成立，即sin xax0恒成立.令(x)sin xax，x，则(x)cos xa，且(0)0.当a1时，在区间上(x)0，即函数(x)单调递减，所以(x)(0)0，故sin xax0恒成立.当0a0，故(x)在区间(0，x0)上单调递增，且(0)0，从而(x)在区间(0，x0)上大于零，这与sin xax0，即函数(x)单调递增，且(0)0，得sin xax0恒成立，这与sin xax0，f(x)是增函数；当x(1
7、，)时，f(x)0，f(x)是减函数；所以x1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点，所以0a1a，故a0，所以g(x)是增函数，所以g(x)g(1)2，故k2，即实数k的取值范围是(，2.角度2不等式能成立求参数的取值范围【例32】 已知函数f(x)x2(2a1)xaln x(aR).(1)若f(x)在区间1，2上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)函数g(x)(1a)x，若x01，e使得f(x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围.解(1)f(x)，当导函数f(x)的零点xa落在区间(1，2)内时，函数f(x)在区间1，2上就不是单调函数，即a(1，2)，所以实数a的取值范围是(，12
8、，).(2)由题意知，不等式f(x)g(x)在区间1，e上有解，即x22xa(ln xx)0在区间1，e上有解.因为当x1，e时，ln x1x(不同时取等号)，xln x0，所以a在区间1，e上有解.令h(x)，则h(x).因为x1，e，所以x222ln x，所以h(x)0，h(x)在1，e上单调递增，所以x1，e时，h(x)maxh(e)，所以a，所以实数a的取值范围是.规律方法1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法af(x)在xD上能成立，则af(x)min；af(x)在xD上能成立，则af(x)max.2.含全称、存在量词不等式能成立问题(1)存在x1A，任意x2B使f(x1)g(x
9、2)成立，则f(x)maxg(x)max；(2)任意x1A，存在x2B，使f(x1)g(x2)成立，则f(x)ming(x)min.【训练4】 已知函数f(x)m2ln x(mR)，g(x)，若至少存在一个x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，求实数m的取值范围.解依题意，不等式f(x)g(x)在1，e上有解， mx2ln x在区间1，e上有解，即能成立.令h(x)，x1，e，则h(x).当x1，e时，h(x)0，h(x)在1，e上是增函数，h(x)的最大值为h(e).由题意，即m时，f(x)0f(x)min0；xD，f(x)0f(x)max0f(x)max0；xD，f(x)0f(x)min0)，当且仅当x1时，等号成立.(2)指数形式：exx1(xR)，当且仅当x0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：exx1x1ln x(x0，且x1).【例1】 (1)已知函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()解析因为f(x)的定义域为即x|x1，且x0，所以排除选项D.当x0时，由经典不等式x1ln x(x0)，以x1代替x，得xln(x
