《一元二次方程讲义》由会员分享,可在线阅读,更多相关《一元二次方程讲义(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题总复习三:一元二次方程一、复习目标:1、掌握一元二次方程的相关概念及一般形式;2、掌握并熟练一元二次方程的解法;3、学会利用一元二次方程相关知识点解决实际问题.二、重难点分析:1、掌握一元二次方程的几种解法;2、一元二次方程在实际中的应用,并利用一元二次方程相关知识点解决实际问题.三、知识点梳理:知识点一:一元二次方程的概念只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次的整式方程,叫做一元二次方程.点拨:一元二次方程的满足条件:是整式方程; 只有一个未知数; 未知数最高次项是2.考查题型1:一元二次方程的概念例题1:判断下列关于的方程中那些是整式方程,哪些是关于的一元二次方程.(1) (2)
2、 (3) (4)(5) (6) (7)(8) (9) (10)例题2:下列方程中;A. B. C. D. E.其中是一元二次方程的是_.知识点二:一元二次方程的一般形式点拨:对于一元二次方程一般形式:有 的取值:,可为任意值; 是关于的方程,即未知数;任何一个一元二次方程都可以化为一般形式;称为二次项,称为一次项,称为常数项;其中分别是二次项系数与一次项系数。考查题型2:考查一元二次方程的概念.例题1:关于的方程是一元二次方程,则的取值范围是_.例题2:已知关于的方程是一元二次方程,则的值是_.若关于的方程是一元一次方程,则的值是_.变式题:若是关于的一元二次方程,求的值.考查题型3:一元二次
3、方程一般形式表达式及二次项系数、一次项系数、常数项的问题.例题1:把下列方程化成一般形式,并指出二次项、一次项、二次项系数、一次项系数、常数项.(1) (2) (3)例题2:将方程化为一般形式是_;其中二次项系数是_.变式题:将关于的一元二次方程化为一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.知识点三:一元二次方程的解(根)使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值.点拨:一元二次方程的解(根)应满足如下条件:求的是未知数的值; 求出来的值必定例方程左右两边相等.考查题型4:考查一元二次方程的解(根)与代数式的关系.例题1:若是一元二次方程的一个根,则.例题2:请写出一个一元二次方程使它
4、有一根为4,这个一元二次方程为.例题3:若是关于的一元二次方程的一个根,求的值.变式题:已知关于的一元二次方程有两个根分别为和,求以下各式值.(1) (2)例题4:已知是关于的方程的根,求的值.例题5:一元二次方程的一个根是,且满足等式,求一元二次方程的一般表达式.例题6:若都是方程的根,求的值.变式题:(1)已知是方程的一个根,试求的值. (2)已知是方程的一个根,试求的值.思考题:设是一元二次方程的两个根,求代数式的值.练习巩固:1.一元二次方程的一次项系数和常数项分别是( )A.-5,7 B.-5,-7 C.-5,0 D.3,-52.方程是关于的一元二次方程,则的值为( )A.任何实数
5、B. C. D.3.下列的各组取值是方程根的是( )A. B. C. D. 4.把方程化为一般形式为_,其中二次项的系数为_,一次项系数为_,常数项为_.5.写出两个一元二次方程,使每个方程都有一个根为0,并且二次项系数都为1的方程为_.6.已知方程的一个根是1,则的值是_.7.一元二次方程的一个根是,且满足,求的值.8.设是二次项系数,是一次项系数,为常数项,根据下列条件写出关于的一元二次方程.你是否发现解这类题的规律,请用自己的语言表达出来.9.已知是方程的根,试化简10.当为何值时,关于的方程是(1)一元二次方程;(2)一元一次方程.知识点四:解一元二次方程的方法(1)直接开平方法:形如
6、,则点拨:对于的一元二次也可以采用直接开平方法求解.考查题型5:直接开平方法的综合运用.例题1:解方程:(1) (2) (3)例题2:当为何值时,代数式与的值相等例题3:已知,求的值(2)配方法:形如 点拨:利用配方法解一元二次方程的一般步骤如下: 化为1两边同时除以;移项将常数移到方程的右边,未知数的移到左边;配方方程两边同时加上一次项系数一半的平方;求解直接开平方法求解。考查题型6:配方法的综合运用.例题1:利用配方法解下列方程:(1) (2) (3) (4)例题2:用配方法证明代数式的值恒大于零.例题3:用配方法将二次三项式变形的结果是( )A、 B、 C、 D、知识点五:根的判别式在不
7、解方程的情况下,可利用的值来判定一元二次方程的根的情况:(有三种情况)当有两个不相等的实数根;有两个相等的实数根;无实数根.考查题型6:一元二次方程根的判别情况.类型1:在不解方程,判断下一方程的根的情况:(1) (2) (3)类型2:已知关于的方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是_.类型3:若在第二象限,则关于的一元二次方程的根的情况是_.类型4:如果关于的方程有两个相等实实数根,则.类型5:已知关于的方程;(1)当取何值时,方程有两个实数根;(2)任取一个合适的整数使得方程有两个不相等的实数根,并求出这两个根.(3)公式法:形如,当时,此方程的根为.考查题型7:利用公式法解方程,(1)
8、 (2)(4)因式分解法:利用公式法(五条基本公式)、十字相乘法将其化成积的形式;方程两边必须是一边分解成两个或两个以上的因式乘积,另一边为;化成,则或考查题型8:一元二次方程与因式分解的综合运用.类型1:解下列方程.(1) (2) (3)类型2:方程的解是.类型3:三角形两边长分别为3和6,第三边是方程的解,则这个三角形的周长是( )A、 B、 C、或 D、和类型4:分式的值为,则的值为_.类型5:已知,求的值知识点六:一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)若是一元二次方程的两个根,则有,考查题型9:类型1:若是方程的两个实数根,不解方程,求下列代数式的值。(1) (2)类型2:若关于的方
9、程的两实数根的平方和为,求的值。类型3:已知关于的方程有两个实数根, (1)求的取值范围;(2)设是方程两个根,试求:的值。知识点七:实际问题与一元二次方程(1)列方程解应用题的一般步骤:A、首先,弄清题意和题目中的已知数、未知数,找出等量关系.B、然后,用字母表示出题目中的一个未知数.C、根据等量关系列出方程.D、解一元二次方程,求出未知数的值.E、检验未知数的值是否符合实际中的意义,写出答案.知识点八:常见的一元二次方程应用题原两位数: 对调后新两位数: 十位数个位数类型1:数字问题.(1)一个两位数字,十位数字比个位数字大,而这两个数字之积等于这个两位数字的,若设个位数字为,则可列出方程
10、_.(2)一个两位数,个位数字比十位数字大1,个位数字与十位数字对调后所得的两位数比原数大9,求这个两位数是多少?类型2:增长率问题.原有量现有量:各个量之和总量:(1)某经济开发区今年一月份工业产值达50亿,三月份产值为72亿元,问二、三月份平均每月的增长率是多少?(2)某经济开发区今年一月份工业产值达50亿,第一季度总产值为175亿元,问二、三月份平均每月的增长率是多少?(3)某药品经两次升价,零售价升为原来的1.2倍.已知两次升价的百分率一样,求每次降价的百分率.(精确到0.1%)(4)某药品经两次降价,零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样,求每次降价的百分率.(精确到0.1%
11、)类型3:面积问题.(常见图形如下:)(1)用22长的铁丝,折成一个面积为30的矩形.求这个矩形的长与宽各是多少?面积最大是多少?(2)在宽为20米、长为32米的矩形地面上,修筑同样宽的两条互相垂直的道路,余下部分作为耕地,要使耕地的面积为540平方米,道路的宽应为多少?(3)用一块长28、宽20的长方形纸片,要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体盒子,使它的底面积为180,为了有效地利用材料,求截去的小正方形的边长是多少.类型4:互赠礼物、握手、比赛规则问题.个握手(或互赠礼物)每两个人之间都要握(或赠礼):个握手(或互赠礼物)每两个人之间只握一次(或赠礼):(1)某旅游团
12、结束旅游时,其中一个游客建议大家互相握手言别,细心的小明发现,每两个参加旅游的人互握了一次手,共握了66次手,问这次旅游的游客人数是多少?(2)某次足球比赛中,每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛,共有20场比赛,则这次足球比赛中共有多少支足球队参加角逐.类型5:销售问题.(1)某种服装进价每件60元,据市场调查,这种服装提价20元销售时,每月可卖出400件,销售价每涨1元,就要少卖出5件.如果服装店预计在销售上获得利润1.2万元,那么服装商店销售这种服装应每件定价应为多少元?(2)某商店将进价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售200件,现商家采用提高售价,减少进货量的方法增
13、加利润.如果这种商品每件涨0.5元,其销销售量就会减少10件,那么,将售价定为多少时,才能使利润为640元.(3)服装店在销售中发现某品牌单装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施,为了扩大销售量,增加盈利,减少库存,经市场调查发现,如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件,要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装降价多少元?类型6:质点运动问题.(1)关键:以静制动.把动的点进行转换,变为线段的长度.(2)方法:时间变路程.一般地,求“动点的运动时间”可以转化为“动点的运动路程”,即求线段的长度.(3)常用的数量关系:面积相等关系,勾股定理等.DABC(1)在矩形ABCD中,AB=6,BC=12,点P从点A开始以1的速度沿AB边向点B移动,点Q开始以2的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,几秒后PBQ的面积等于8C Q BRPA(2)等腰直角三角形ABC中,AB=BC=8,动点P从A点出发,沿AB向B点移动,