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1、专题总复习三：一元二次方程一、复习目标：1、掌握一元二次方程的相关概念及一般形式；2、掌握并熟练一元二次方程的解法；3、学会利用一元二次方程相关知识点解决实际问题.二、重难点分析：1、掌握一元二次方程的几种解法；2、一元二次方程在实际中的应用，并利用一元二次方程相关知识点解决实际问题.三、知识点梳理：知识点一：一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程.点拨：一元二次方程的满足条件：是整式方程； 只有一个未知数； 未知数最高次项是2.考查题型1：一元二次方程的概念例题1：判断下列关于的方程中那些是整式方程，哪些是关于的一元二次方程.（1） （2）
2、 （3） （4）（5） （6） （7）（8） （9） （10）例题2：下列方程中；A. B. C. D. E.其中是一元二次方程的是_.知识点二：一元二次方程的一般形式点拨：对于一元二次方程一般形式：有 的取值：，可为任意值； 是关于的方程，即未知数；任何一个一元二次方程都可以化为一般形式；称为二次项，称为一次项，称为常数项；其中分别是二次项系数与一次项系数。考查题型2：考查一元二次方程的概念.例题1：关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_.例题2：已知关于的方程是一元二次方程，则的值是_.若关于的方程是一元一次方程，则的值是_.变式题：若是关于的一元二次方程，求的值.考查题型3：一元二次
3、方程一般形式表达式及二次项系数、一次项系数、常数项的问题.例题1：把下列方程化成一般形式，并指出二次项、一次项、二次项系数、一次项系数、常数项.（1） （2） （3）例题2：将方程化为一般形式是_；其中二次项系数是_.变式题：将关于的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.知识点三：一元二次方程的解(根)使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值.点拨:一元二次方程的解(根)应满足如下条件：求的是未知数的值； 求出来的值必定例方程左右两边相等.考查题型4:考查一元二次方程的解（根）与代数式的关系.例题1：若是一元二次方程的一个根，则.例题2：请写出一个一元二次方程使它
4、有一根为4，这个一元二次方程为.例题3：若是关于的一元二次方程的一个根，求的值.变式题：已知关于的一元二次方程有两个根分别为和，求以下各式值.（1） （2）例题4：已知是关于的方程的根，求的值.例题5：一元二次方程的一个根是，且满足等式，求一元二次方程的一般表达式.例题6：若都是方程的根，求的值.变式题：（1）已知是方程的一个根，试求的值. （2）已知是方程的一个根，试求的值.思考题：设是一元二次方程的两个根，求代数式的值.练习巩固：1.一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（ ）A.-5,7 B.-5,-7 C.-5,0 D.3,-52.方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ）A.任何实数
5、B. C. D.3.下列的各组取值是方程根的是（ ）A. B. C. D. 4.把方程化为一般形式为_,其中二次项的系数为_,一次项系数为_,常数项为_.5.写出两个一元二次方程,使每个方程都有一个根为0,并且二次项系数都为1的方程为_.6.已知方程的一个根是1,则的值是_.7.一元二次方程的一个根是,且满足,求的值.8.设是二次项系数,是一次项系数,为常数项,根据下列条件写出关于的一元二次方程.你是否发现解这类题的规律,请用自己的语言表达出来.9.已知是方程的根,试化简10.当为何值时,关于的方程是(1)一元二次方程;(2)一元一次方程.知识点四：解一元二次方程的方法（1）直接开平方法：形如
6、，则点拨：对于的一元二次也可以采用直接开平方法求解.考查题型5：直接开平方法的综合运用.例题1：解方程：（1） （2） （3）例题2：当为何值时，代数式与的值相等例题3：已知，求的值（2）配方法：形如 点拨：利用配方法解一元二次方程的一般步骤如下： 化为1两边同时除以；移项将常数移到方程的右边，未知数的移到左边；配方方程两边同时加上一次项系数一半的平方；求解直接开平方法求解。考查题型6：配方法的综合运用.例题1：利用配方法解下列方程：（1） （2） （3） （4）例题2：用配方法证明代数式的值恒大于零.例题3：用配方法将二次三项式变形的结果是（ ）A、 B、 C、 D、知识点五：根的判别式在不
7、解方程的情况下，可利用的值来判定一元二次方程的根的情况：（有三种情况）当有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；无实数根.考查题型6：一元二次方程根的判别情况.类型1：在不解方程，判断下一方程的根的情况：（1） （2） （3）类型2：已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_.类型3：若在第二象限，则关于的一元二次方程的根的情况是_.类型4：如果关于的方程有两个相等实实数根，则.类型5：已知关于的方程；（1）当取何值时，方程有两个实数根；（2）任取一个合适的整数使得方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根.（3）公式法：形如，当时，此方程的根为.考查题型7：利用公式法解方程，（1）
8、 （2）（4）因式分解法：利用公式法（五条基本公式）、十字相乘法将其化成积的形式；方程两边必须是一边分解成两个或两个以上的因式乘积，另一边为；化成，则或考查题型8：一元二次方程与因式分解的综合运用.类型1：解下列方程.（1） （2） （3）类型2：方程的解是.类型3：三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）A、 B、 C、或 D、和类型4：分式的值为，则的值为_.类型5：已知，求的值知识点六：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若是一元二次方程的两个根，则有，考查题型9：类型1：若是方程的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值。（1） （2）类型2：若关于的方
9、程的两实数根的平方和为，求的值。类型3：已知关于的方程有两个实数根， （1）求的取值范围；（2）设是方程两个根，试求：的值。知识点七：实际问题与一元二次方程（1）列方程解应用题的一般步骤：A、首先，弄清题意和题目中的已知数、未知数，找出等量关系.B、然后，用字母表示出题目中的一个未知数.C、根据等量关系列出方程.D、解一元二次方程，求出未知数的值.E、检验未知数的值是否符合实际中的意义，写出答案.知识点八：常见的一元二次方程应用题原两位数： 对调后新两位数： 十位数个位数类型1：数字问题.（1）一个两位数字，十位数字比个位数字大，而这两个数字之积等于这个两位数字的，若设个位数字为，则可列出方程
10、_.（2）一个两位数，个位数字比十位数字大1，个位数字与十位数字对调后所得的两位数比原数大9，求这个两位数是多少？类型2：增长率问题.原有量现有量：各个量之和总量：（1）某经济开发区今年一月份工业产值达50亿，三月份产值为72亿元，问二、三月份平均每月的增长率是多少？（2）某经济开发区今年一月份工业产值达50亿，第一季度总产值为175亿元，问二、三月份平均每月的增长率是多少？（3）某药品经两次升价，零售价升为原来的1.2倍.已知两次升价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）（4）某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%
11、）类型3：面积问题.（常见图形如下：）（1）用22长的铁丝，折成一个面积为30的矩形.求这个矩形的长与宽各是多少？面积最大是多少？（2）在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地的面积为540平方米，道路的宽应为多少？（3）用一块长28、宽20的长方形纸片，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180，为了有效地利用材料，求截去的小正方形的边长是多少.类型4：互赠礼物、握手、比赛规则问题.个握手（或互赠礼物）每两个人之间都要握（或赠礼）：个握手（或互赠礼物）每两个人之间只握一次（或赠礼）：（1）某旅游团
12、结束旅游时，其中一个游客建议大家互相握手言别，细心的小明发现，每两个参加旅游的人互握了一次手，共握了66次手，问这次旅游的游客人数是多少？（2）某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有20场比赛，则这次足球比赛中共有多少支足球队参加角逐.类型5：销售问题.（1）某种服装进价每件60元，据市场调查，这种服装提价20元销售时，每月可卖出400件，销售价每涨1元，就要少卖出5件.如果服装店预计在销售上获得利润1.2万元，那么服装商店销售这种服装应每件定价应为多少元？（2）某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现商家采用提高售价，减少进货量的方法增
13、加利润.如果这种商品每件涨0.5元，其销销售量就会减少10件，那么，将售价定为多少时，才能使利润为640元.（3）服装店在销售中发现某品牌单装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，为了扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装降价多少元？类型6：质点运动问题.（1）关键：以静制动.把动的点进行转换，变为线段的长度.（2）方法：时间变路程.一般地，求“动点的运动时间”可以转化为“动点的运动路程”，即求线段的长度.（3）常用的数量关系：面积相等关系，勾股定理等.DABC（1）在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，点P从点A开始以1的速度沿AB边向点B移动，点Q开始以2的速度沿BC边向点C移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后PBQ的面积等于8C Q BRPA（2）等腰直角三角形ABC中，AB=BC=8，动点P从A点出发，沿AB向B点移动，
