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1、2韦达te理：对于一兀一次万程axbxc0(a0),如果万程有两个实数根x1，x2,则bcx1x2-,x1x2一aa说明：(1)定理成立的条件0b(2)汪思公式重x1x2的负号与b的符号的区别a根系关系的几大用处验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；例如：已知方程x2-5x+6=0,下列是它两根的是()A.3,-2B.-2,3C.-2,-3D.3,2求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于xi1 1和乂2的代数式的值，如4;内工二求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.求根及未知数系数：已知方程的一个根
2、，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.(后三种为主)(1)计算代数式的值例若x1,x2是方程x22x20070的两个根，试求下列各式的值：xi2x22;(2),；(3)(xi5)(x25);(4)xix2|xix2.解：由题意，根据根与系数的关系得：x1x22,x1x2200722,22(1)x12x22(x1x2)22x1x2(2)22(2007)401812为X222x1x2x1x220072007(x15)(x25)x1x25(x1x2)2520075(2)251972(4)|为x2|.(xx?,(xix2)24xix(2)24(2007)2、2008说明：利用根与系数的关系求
3、值，要熟练掌握以下等式变形：2 xi2 x22 Oi(xi x2) 2x#2, 一 xixi x2,(xi x2)2 (xi x2)2 4xix2 ,xix2|xix2 |一/72；. 2,(xix2)4x1x2 , xx2xi2x2xix2(xi x2),3 xi3 x2,、3(xi x2)3xi x2( xix2)等等.韦达定理体现了整体思想.(2)构造新方程为根的一元二次方程是理论：以两个数例解方程组x+y=5xy=6解：显然，x,y是方程z2-5z+6=0的两根由方程解得z1=2,z2=3，原方程组的解为xi=2,y1=3x2=3,y2=2显然，此法比代入法要简单得多。3）定性判断字母
4、系数的取值范围的两根，第例一个三角形的两边长是方程三边长为2，求k的取值范围。解：设此三角形的三边长分别为a、b、c,且a、b为的两根，则c=2由题意知2=k-4X2X20,k4或kW-4为所求。【典型例题】212例1已知关于x的万程x(k1)xk10,根据下列条件，分别求出k的值.4(1)方程两实根的积为5;(2)方程的两实根x,x2满足|x1|x2.分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一是x1x20,二是x1x2,所以要分类讨论.解：(1);方程两实根的积为5212(k1)24(-k21)0434k-,k41,22x1x2k154所以，当k4时，方程两实根的积为5.(2)由|
5、Xi|X2得知：3当Xi0时，XiX2,所以万程有两相等实数根，故0k；当X10时，X1x2X1x20k10k1,由于0k0，故k1不合题意，舍去.23综上可信，k一时，万程的两实根Xi,X2满足|Xi|X2.2说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0,例2已知x1,x2是一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根. 是否存在实数k ,使(2x1 x2)(x1 2x2)3成立？若存在，求出k的值;23成立.2若不存在，请您说明理由.(2)求使土臣2的值为整数的实数k的整数值.X2X3解：(1)假设存在头数k,使(2x1x2)(
6、x12x2)万成立.元二次方程4kx24kxk10的两个实数根4k09k0,(4k)244k(k1)16k02又x,X2是一元二次万程4kx4kxk10的两个实数根X1X21k1X1X24k(2X1x2)(x12x2)2(x12x22)5x1x22(x1x2)29x1x2k94k22(2) .土世2当一包2X2X1(X1X2)244kX1X2X1X2，不存在实数k,使(2x1X2)(X|2x2)要使其值是整数，只需k1能被4整除，故k11,2,4,注意到k0,要使匕x22的值为整数的实数k的整数值为2,3,5.又2Xi说明：（1）存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说
7、明存在，否则即不存在.（2）本题综合性较强，要学会对二为整数的分析方法.k1元二次方程根与系数的关系练习题A组21.一兀一次万程（1k）x2x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k2B.k2,且k1C.k2D.k2,且k1112.若X1,X2是方程2x26x30的两个根，则一一的值为（）X1又21A. 2B. 2C23.已知菱形 ABCD勺边长为5,两条对角线交于 。点，且OAD.OB的长分别是关于x的方程2_2_一.x(2m1)xm30的根，则m等于()A.3B. 5C. 5 或 3D.5或 34.若t是一元二次方程ax2bx c 0 （a 0）的根，则判别式-2b4ac和完全
8、平万式M (2at b)2的关系是()A.MB.MC.MD.大小关系不能确定5.若实数a b,且a,b满足a2一一一 2一一一8a50,b8b50,b1a1 ,则代数式的a1b1值为()A.20B.2C.2或20D.2或206 .如果方程(bc)x2(ca)x(ab)0的两根相等，则a,b,c之间的关系是7 .已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x28x70的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.8 .若方程2x2(k1)xk30的两根之差为1,则k的值是.22一9 .设x1,x2是万程xpxq0的两实根，x11,x21是关于x的万程xqxp0的两实根，则p=,q=.210 .已知实数a
9、,b,c满足a6b,cab9,则a=,b=,c=.11 .对于二次三项式x210x36,小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于10.您是否同意他的看法？请您说明理由.21一m,12 .右n0,关于x的万程x(m2n)x-mn0有两个相等的的正实数根，求一的4n值.213 .已知关于x的一兀一次方程x(4m1)x2m10.(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；1 11(2)右方程的两根为x1,x2,且满足一一一，求m的值.x1x222 1214.已知关于x的万程x(k1)x-k10的两根是一个矩形两边的长.(1)k取何值时，方程存在两个正实数根？(2)当矩形的对角线长是J5时，求k的值.B组21 .已知关于x的万程(k1)x(2k3)xk10有两个不相等的实数根Xi,X2.(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说明理由.2 .已知关于x的方程x23xm0的两个实数根的平方和等于11.求证：关于x的方程22(k3)xkmxm6m40有头数根.2 23 .右x1，x2是关于x的万程x(2k1)xk10的两个实数根，且xi,x2都大于1.(1)求实数k的取值范围；什x11-(2)右一，求k的值.x22
