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1、三次函数专题讲义一、定义：定义1、形如的函数,称为三次函数从函数解析式的结构上命名.定义2、三次函数的导数,把叫做三次函数导函数的判别式.由于三次函数的导函数是二次函数,而二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题,已经成为高考命题的一个新的热点和亮点.二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性. 一般地,当时,三次函数在上是单调函数；当时,三次函数在上有三个单调区间.根据两种不同情况进行分类讨论2、对称中心.三次函数是关于点对称,且对称中心为点,此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标.证明：设函数的对称中心为m,n.按向量将函数的图象平移,则所得函数是奇函数,所以化简得：上式对恒成立,故
2、,得,.所以,函数的对称中心是.可见,yf图象的对称中心在导函数y的对称轴上,且又是两个极值点的中点,同时也是二阶导为零的点.3、三次方程根的问题.1当=时,由于不等式恒成立,函数是单调递增的,所以原方程仅有一个实根.2当=时,由于方程有两个不同的实根,不妨设,可知,为函数的极大值点,为极小值点,且函数在和上单调递增,在上单调递减.此时：若,即函数极大值点和极小值点在轴同侧,图象均与轴只有一个交点,所以原方程有且只有一个实根. 若,即函数极大值点与极小值点在轴异侧,图象与轴必有三个交点,所以原方程有三个不等实根. 若,即与中有且只有一个值为0,所以,原方程有三个实根,其中两个相等.4、极值点问
3、题.若函数f在点x0的附近恒有ff 或ff,则称函数f在点x0处取得极大值或极小值,称点x0为极大值点或极小值点.当时,三次函数在上的极值点要么有两个.当时,三次函数在上不存在极值点.5、最值问题. 函数若,且,则：；.三、例题讲解：例1、函数的单调区间、极值与函数与方程的已知函数fx=x-3ax+3x+1.设a=2,求fx的单调期间；设fx在区间2,3中至少有一个极值点,求a的取值范围.解：式无解,式的解为, 因此的取值范围是.例2、已知函数满足其中为常数1求函数的单调区间；2若方程有且只有两个不等的实数根,求常数；3在2的条件下,若,求函数的图象与轴围成的封闭图形的面积解：1由,得取,得,
4、解之,得, 从而,列表如下：100有极大值有极小值的单调递增区间是和；的单调递减区间是2由1知,；方程有且只有两个不等的实数根,等价于或 8分常数或 3由2知,或而,所以令,得,所求封闭图形的面积例3、恒成立问题已知函数有极值1求的取值范围；2若在处取得极值,且当时,恒成立,求的取值范围解：1,要使有极值,则方程有两个实数解,从而, 2在处取得极值, ,当时,函数单调递增,当时,函数单调递减时,在处取得最大值, 时,恒成立,即,或,即的取值范围是例4、信息迁移题对于三次函数.定义：1的导数也叫一阶导数的导数为的二阶导数,若方程有实数解,则称点为函数的拐点；定义：2设为常数,若定义在上的函数对于
5、定义域内的一切实数,都有恒成立,则函数的图象关于点对称.1己知,求函数的拐点的坐标；2检验1中的函数的图象是否关于拐点对称;3对于任意的三次函数写出一个有关拐点的结论不必证明.解：1依题意,得：,.由,即.,又,的拐点坐标是.2由知拐点坐标是.而= =,由定义知：关于点对称.3一般地,三次函数的拐点是,它就是的对称中心.或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数.例5 与线性规划的交汇问题设函数, 其中,是的导函数.若,求函数的解析式;若,函数的两个极值点为满足. 设, 试#数的取值范围.解: 据题意,由知,是二次函数图象的对称轴又, 故是
6、方程的两根.设,将代入得比较系数得:故为所求.另解：,据题意得 解得故为所求.据题意,则又是方程的两根,且则则点的可行区域如图的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点,A到直线的距离的平方为的最小值故的取值范围是例6：1已知函数f=x3-x ,其图像记为曲线C.求函数f的单调区间；证明：若对于任意非零实数x1 ,曲线C与其在点P1 x1,f处的切线交于另一点P2x2,f,曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3x3,f,线段P1 P2, P2 P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则为定值；2对于一般的三次函数g=ax3+bx2+cx+d,请给出类似于ii的正确命题,并予以
7、证明.解法一：1i有f=x3-x得f=3x2-1=3.当x和时,f0;当x时,f0.曲线C在点P1处的切线方程为y=+x13-x1,即y=x-2 x13.由得x3-x=x-2 x13即x-x12=0,解得 x=x1或x=-2x1,故x2=-2x1.进而有用x2代替x1,重复上述计算过程,可得x3= -2x2和S2=.又x2=-2x10,所以S2=,因此有.2记函数g=ax3+bx2+cx+da0的图像为曲线C,类似于ii的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1,曲线C与其在点P1x1, g处的切线交于另一点P2x2, g,曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3x3, g,线段P1P2、P2P
8、3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则为定值.证明如下：因为平移变换不改变面积的大小,故可将曲线y=g的对称中心平移至解法二：1同解法一.2记函数g=ax3+bx2+cx+d的图像为曲线C,类似于1ii的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1,曲线C与其在点P1x1, g处的切线交于另一点P2x2, g,曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3x3, g,线段P1P2、P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则为定值.证明如下：用x2代替x1,重复上述计算过程,可得x3= 和.又x2=所以故三次函数作业1、设是函数f的导函数,的图象如图所示,则yf的图象最有可能是
9、2、函数在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是A. 1,1 B. 1,17C. 3,17 D. 9,193、设函数.1若的两个极值点为,且,#数的值；2是否存在实数,使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在,说明理由.考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识4、设定函数,且方程的两个根分别为1,4.当a=3且曲线过原点时,求的解析式；若在无极值点,求a的取值范围.5、已知函数fx=,其中a0. 若a=1,求曲线y=fx在点2,f2处的切线方程；若在区间上,fx0恒成立,求a的取值范围.6、已知函数其中常数a,bR,是奇函数.求的表达式；讨论的单调性,并求在区间上的最大值与最小值.7、已知
10、在函数的图象上以N1,n为切点的切线的倾斜角为 1求m、n的值； 2是否存在最小的正整数k,使不等式对于恒成立？求出最小的正整数k,若不存在说明理由；20070329 3求证：8、已知函数a-b.I当a=1,b=2时,求曲线在点2,处的切线方程.II设是的两个极值点,是的一个零点,且,9、已知函数fx=的图像在点P0,f处的切线方程为y=3x-2#数a,b的值；设gx=f+是上的增函数.KS*5U.C#O i#数m的最大值； 当m取最大值时,是否存在点Q,使得过点Q的直线若能与曲线y=g围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q的坐标；若不存在,说明理由.KS*5U.C#
11、O作业：1、解：根据图象特征,不妨设f是三次函数.则的图象给出了如下信息：；导方程两根是0,2,f对称中心的横坐标是1；在0,2上；在,0或2,上.由和性质1可排除B、D；由和性质1确定选C.2、解：函数的导方程是,两根为1和1,由性质2得：,.故选C.3、解析1由已知有,从而,所以；2由,所以不存在实数,使得是上的单调函数.4、5、解析解：当a=1时,fx=,f2=3；f=, f=6.所以曲线y=fx在点2,f2处的切线方程为y-3=6x-2,即y=6x-9.解：f=.令f=0,解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：若,当x变化时,f,fx的变化情况如下表：X0f+0-f极大值当等价于,解不等式组得-5a2,则.当x变化时,f,fx的变化情况如下表：X0f+0-0+f极大值极小值当时,fx0等价于即,解不等式组得或.因此2a5.综合1和2,可知a的取值范围为0a5.6、7、解：1,2令,在1,3中,在此区间为增函数时,在此区间为减函数.处取得极大值.,3时在此区间为增函数,在x=3处取得极大值.8分比较和的大小得：无理由最大,扣3分即存在k=2007 3而也可由单调性：8、9、 /
