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1、圆锥曲线定义标准方程【知识图解】椭圆几何性质标准方程定义几何性质圆锥曲线圆锥曲线应用双曲线标准方程定义抛物线几何性质 【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合
2、运用各种数学知识和方法的能力要求较高。1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思
3、想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程 第1课椭圆【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.【基础练习】1已知ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 2.椭圆的离心率为3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 4. 已知椭圆的离心率，则的值为5椭圆的焦点 ，P为椭圆上的一
4、点，已知，则的面积为 9_【范例导析】例1.（1）求经过点，且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P（3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;写出方程.解：（1）椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），由椭圆的定义知，又，所以，椭圆的标准方程为。（2）方法一：若焦点在x轴上，设方程为，点P（3,0）在该椭圆上即又，椭圆的方程为.若焦点在y轴上，设方程为，点P（3,0）在该椭圆上即又，椭圆的方程为方法二
5、：设椭圆方程为.点P（3,0）在该椭圆上9A=1，即,又，椭圆的方程为或.【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为，若焦点在y轴上，设方程为，有时为了运算方便，也可设为，其中.例2.设椭圆的左焦点、右焦点分别为、，点P在椭圆上，,求证：的面积.【分析】有关椭圆的焦半径问题用定义解决比较方便.解：设，则，又，由余弦定理得=，于是=，所以，从而有=【点拨】解与P F1F2（P为椭圆上的点）有关的问题,常用正弦定理或余弦定理，并且结合PF1+PF2=2a来求解。注意解题过程中的整体消元方法.例3.点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴
6、上方，。（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。【分析】列方程组求得P坐标；解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围. 解：（1）由已知可得点A(6,0),F(0,4) 设点P(,),则=（+6, ）,=（4, ）,由已知可得 则2+918=0, =或=6. 由于0,只能=,于是=. 点P的坐标是(,) (2) 直线AP的方程是+6=0. 设点M(,0),则M到直线AP的距离是. 于是=,又66,解得=2. 椭圆上的点(,)到点M的距离有 ,由于66, 当=时,d取得最小值点拨:本题考查了二次
7、曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.例4. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱 宽l是多少？ （2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设例4图 计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最最小？ （半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）解:（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）解法一：由椭圆方程
8、，得故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.解法二：由椭圆方程，得 于是得以下同解一.反馈练习：1.如果表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（0，1）2.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是3.椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的7倍4.若椭圆的离心率,则的值为 5.椭圆的右焦点到直线的距离为6.与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是或7.已知数列的两顶点A、C是椭圆的二个焦点，顶点B在椭圆上，则8.椭圆
9、上的点到直线的最大距离是9.若动点(x,y)在曲线(b0)上变化，则x2+2y的最大值为10. 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出和（或和）的值从而求得椭圆方程解：设两焦点为、，且，从椭圆定义知即从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，可求出，从而所求椭圆方程为或11.设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。解析：依题意可设P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|=，又因为Q在椭圆上，所以，x2=a2(1y2)， |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(
10、1a2)y22y+1+a2， =(1a2)(y)2+1+a2 。因为|y|1,a1, 若a, 则1, 当y=时, |PQ|取最大值，若1ab0）的二个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且。 （1）求离心率e的取值范围；（2）当离心率e最小时，点N(0，3)到椭圆上一点的最远距离为，求此椭圆的方程。分析:离心率与椭圆的基本量a、b、c有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围.解：（1）设点M的坐标为(x，y)，则，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 又由点M在椭圆上，得y2=b2，
11、代入，得x2-c2，即。0，0，即01，01，解得1。又01，1。（2）当离心率取最小值时，椭圆方程可表示为。设点H(x，y)是椭圆上的一点，则|HN|2=x2+(y-3)2=(2b2-2y2)+(y-3)2=- (y+3)2+2b2+18(-byb)。若0b3，则0-b-3，当y=-b时，|HN|2有最大值b2+6b+9。由题意知：b2+6b+9=50，b=或b=-，这与0b3矛盾。若b3，则-b-3，当y=-3时，|HN|2有最大值2b2+18。由题意知：2b2+18=50，b2=16，所求椭圆方程为。点拨：解几中求基本量a、b、c、e等取值范围的解题思路一般可以做如下考虑建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；建立目标变量的不等式，解不等式求解.例3.如图，已知某椭圆的焦点是F1(4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求
