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1、1. 一质量块 m=1Kg悬挂在一弹簧 K =2 103N/m的下端，处于平衡状态，如图1所示。第二个质量块 m2=1Kg自高度h=0.1m处落下，然后与 mi 起做自由振动。试写出两质 量块的运动方程。# resta rt:#初始位移 delta0:=m2*g/k: eq:=(m1+m2)*diff(x(t),t$2)=(m1+m2)*g-k*(delta0+x):#振动微分方程 eq:=lhs(eq)_rhs(eq)=0: eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx,eq):# eq:=simplify(eq); X:=A*s in (omega0*t+theta); omeg
2、a0:=sqrt(k/(m1+m2): x0:=-delta0: v1:=sqrt(2*g*h): v2:=m2*v1/(m1+m2); v0:=v2: A:=sqrt(x0A2+v0A2/omega0A2): theta:=arcta n(omega0*x0/v0): m1:=1:m2:=1: h:=0.1:k:=2*10A3: g:=9.8: omega0:=evalf(omega0,4); A:=evalf(A,4); theta:=evalf(theta,4); X:=evalf(X);#合并同类项代换#化简#位移结果 X = As in (yt r)#求固有角频率二.Y m rest
3、a 比for k from 0 to 10 do#按阻尼循环开始 xik:=0.1*k:# 阻尼比 zetak:=1/sqrt(1-lambdaA2)A2+4*xikA2*lambdaA2): #振幅比 od:#按阻尼循环结束plot(seq(zetak,k=0.10),lambda=0.10,view=0.3,0.6,tickma rks=4,6);#绘制幅频关系曲线 resta 比for k from 0 to 10 do#按阻尼循环开始 xik:=0.1*k:# 阻尼比 zetak:=lambdaA2/sqrt(1-lambdaA2)A2+4*xikF2*lambdaA2): #振幅比
4、od:#按阻尼循环结束plot(seq(zetak,k=0.10),lambda=0.10,view=0.3,0.6,tickma rks=4,6);#绘制幅频关系曲线 resta rt:#按阻尼循环开始#阻尼比for k from 0 to 10 do xik:=0.1*k: zetak:=sqrt(1+(2*lambda*xik)A2)/ (1-lambdaA2)A2+4*xikA2*lambdaA2): #振幅比 od:#按阻尼循环结束 plot(seq(zetak,k=0.10),lambda=0.10,view=0.3,0.6,tickmarks=4,6);#绘制幅频关系曲线图23.
5、 一机器系如图3所示。已知机器重 W1=90 kg,减振器重 W2=2.25 kg,若机器上有一偏心块重0.5kg，偏心距e=1cm，机器转速n=1800rpm。试求：(1) 减振器的弹簧刚度K2多大，才能使机器振幅为零；(2) 此时机器的振幅 B2为多大。# resta rt: F0:=F0*si n(omega*t):#外激力 F0 = F sin( t)#2 F0:=m*e*omegaA2:# F = me eq1:=W1/g*diff(x1(t),t$2)+k1*x1+k2*x2=F0#Wi的运动微分方程#W2的运动微分方程2#满足条件d-0#代换#求解k2 x2:=B2*si n(o
6、mega*t): B2:=F0/k2: m:=0.5/980:e:=1: B2:=evalf(B2,3);# B2k20.5 i 2 /# m kg s / m e=1980#计算B2答：减震器的弹簧刚度K2为81.4 kg /cm ,减震器的振幅 B2为0.22cm。4. 试求如图4所示质量为m1和m2组成的双摆的动能和势能, 立系统的运动微分方程。并以转角和V 2为广义坐标建 eq2:=W2/g*diff(x2(t),t$2)+k2*x2=0: eq:=d-omegaA2=0: eq:=subs(d=k2/(W2/g),eq): solve(eq,k2):#求解 k2,b2W2 k2:=o
7、megaA2*W2/g:# k22g2 nN omega:=2*Pi*N/60:# 60 W1:=90:W2:=2.25:N:=1800:g:=980:2 #Wj = 90kg W2 = 2.25kg N = 1800r / min g =980cm/s k2:=evalf(k2,3);#Wi的运动微分方程#Wi的运动微分方程图4 resta 比U:=(m1+m2)*g*l1*(1-cos(theta1)+ m2*g*l2*(1-cos(theta2):#系统势能T:=1/2*(m1+m2)*l1A2*diff(theta1(t),t)A2+m2*l1*l2*cos(theta2-theta1
8、)#*diff(theta1(t),t)*diff(theta2(t),t) +1/2*m2*l2A2*diff(theta2(t),t)A2: #系统动能 L:=T-U: L:=subs(diff(theta1(t),t)=Dtheta1, diff(theta2(t),t)=Dtheta2,L):#拉格朗日函数 Ltheta1:=diff(L,theta1): LDtheta1:=diff(L,Dtheta1):#代换；:L#；:L#-Ki# LDtheta1:=subs(Dtheta1=diff(theta1(t),t), Dtheta2=diff(theta2(t),t), LDthe
9、ta1): #代换 eq1:=Ltheta1-diff(LDtheta1,t)=0:d (FL ) PL#拉格朗日方程dt三一石#eq1:=subs(diff(theta1(t),t$2)=DDtheta, diff(theta2(t),t$2)=DDtheta,eq1); #代换BL Ltheta2:=diff(L,theta2):# -#丄胡2 LDtheta2:=diff(L,Dtheta2): LDtheta2:=subs(Dtheta2=diff(theta2(t),t), Dtheta1=diff(theta1(t),t), LDtheta2): #代换 eq2:=Ltheta2-
10、diff(LDtheta2,t)=0:I ( 口 、.f #拉格朗日方程 =0dt匕日2丿胡2eq2:=subs(diff(theta1(t),t$2)=DDtheta,diff(theta2(t),t$2)=DDtheta,eq2);#代换答：运动方程为：(m +m2+口2口2 cos?2 -耳)日2n(耳一日2)日；+(m1 +m2)gl1 sinq = 0m2l1l2cosC1-2p1m2l1l2sin(片-屯户； mgl2siM2 =0质量为M的水平台用长为I的绳子悬挂起来，如图5所示，半径为r的小球，质量为m，沿水平台 做无滑动的滚动，试以B和 x为广义坐标列出此系统的运动微分方程。
11、# resta rt:T1:=1/2*M*L2*dif(theta(t),t)A2:T2:=1/2*m*(l*diff(theta(t),t)A2+diff(x(t),t)A2+ 2*l*diff(x(t),t)*diff(theta(t),t)*cos(theta): T3:=1/2*2/5*m*diff(x(t),t)A2: T:=T1+T2+T3: U:=(M+m)*g*l*(1-cos(theta): L:=T-U: L:=subs(diff(theta(t),t)=Dtheta,diff(x(t),t)=Dx,L): Lx:=diff(L,x): LDx:=diff(L,Dx): L
12、Dx:=subs(Dx=diff(x(t),t),Dtheta=diff(theta(t),t), LDx): eq1:=Lx-diff(LDx,t)=0:eq1:=subs(diff(theta(t),t$2)=DDtheta, diff(x(t),t$2)=DDx,diff(theta(t),t)=Dtheta,eq1): eq1:=expa nd(-eq1/7*5); L:=subs(theta(t)=theta,L): Ltheta:=diff(L,theta): LDtheta:=diff(L,Dtheta): LDtheta:=subs(Dx=diff(x(t),t),Dtheta=diff(theta(t),t),theta=theta(t),LDtheta):eq2:=Ltheta-diff(LDtheta,t)=0:eq2:=subs(diff(theta(t),t$2)=DDtheta,diff(x(t),t$2)=#平台动能#小球平动动能#小球转动动能#系统动能
