高二数学竞赛

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1、2012-2013下学期高二数学竞赛试卷第I卷（选择题）评卷人得分一、选择题（5分/题共50分）1若集合A=-1，1，B=0，2，则集合zz=x+y,xA,yB中的元素的个数为 （ ）A、5 B、4 C、3 D、22设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）4设的

2、三个内角，向量，若，则=（ ）ABCD 5一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为( )（A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+246已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，若，则=A、 B、C、 D、 7已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A、2 B、 C、 D、18已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）ABCD9已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为()（） （） （） （）10如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是

3、以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为 （A）（B）（C）（D） 学校 班级 姓名 考生号 密封线 内不要答2012-2013下学期高二数学竞赛试卷第I卷（选择题）评卷人得分一、选择题（5分/题共50分）题号12345678910答案第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题（5分/题共25分）11如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_条，这些直线中共有对异面直线，则；f(n)=_(答案用数字或n的解析式表示) 12给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_

4、.13在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_14已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为_.15已知椭圆（），圆：，过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线，切点分别为，直线与轴、轴分别交于点，则 评卷人得分三、解答题16如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点求证：（1）平面平面； （2）直线平面17如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45，PA=AD=2，AC=1.（）证明PCAD；（）求二面角A-PC-D的正弦值；（）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的

5、长. 18设椭圆：的左、右焦点分别为，已知椭圆上的任意一点，满足，过作垂直于椭圆长轴的弦长为3（1）求椭圆的方程；（2）若过的直线交椭圆于两点，求的取值范围19已知曲线上任意一点到两个定点，的距离之和为4（1）求曲线的方程；（2）设过(0，-2)的直线与曲线交于两点，且（为原点），求直线的方程 20已知双曲线实轴在轴，且实轴长为2，离心率, L是过定点的直线.（1）求双曲线的标准方程；（2）判断L能否与双曲线交于,两点，且线段恰好以点为中点，若存在，求出直线L的方程，若不存，说明理由.21已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的

6、标准方程;(II)若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.试卷第1页，总3页本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1C 【解析】本题考查集合的概念及元素的个数.容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素.【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等2A【解析】当a1时，直线l1：x2y10与直线l2：x2y40显然平行；若直线l1与直线l2平行

7、，则有：，解之得：a1 or a2所以为充分不必要条件3C【解析】;4C【解析】，所以，即，由题，即。 5A【解析】设【考点定位】本题考查向量的数量积和向量的减法运算，考查学生灵活应用数形结合思想的解题和字母的运算能力6A【解析】棱锥的直观图如右，则有PO4，OD3，由勾股定理，得PD5，AB6，全面积为：66265644812，故选.A。7D【解析】连结交于点，连结，因为是中点，所以,且，所以，即直线 与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做于,则即为所求距离.因为底面边长为2，高为，所以,所以利用等积法得，选D. 8C【解析】解法一：连接AC、BD交于O，连接OE，因OESD。

8、所以AEO为所求。设侧棱长与底面边长都等于2，则在AEO中，OE1，AO，AE=，于是。解法二：建立如图所示坐标系，令正四棱锥的棱长为2，则A（1，-1，0），D（-1，-1，0），S（0，0，）,E（）,则,因此可知cos,故选C.考点：本题主要考查了多面体的结构特征和空间角的求法，同时，还考查了转化思想和运算能力，属中档题点评：解决该试题的关键是由于是正方体，又是求角问题，所以易选用向量量，所以建立如图所示坐标系，先求得相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解9B【解析】抛物线的焦点为，准线为 设，过点向准线作垂线，则，又由得，即，解得的面积为 故选B【点评】此题重点考

9、察抛物线的第二定义，抛物线中与焦点，准线有关三角形问题；【点评】由题意准确化出图象，利用离心率转化位置，在中集中条件求出是关键；10D【解析】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，连接AF1，AF2F1=30，|AF1|=c，|AF2|=c， ，双曲线的离心率为，选D。11，12，【解析】当多面体的棱数由n增加到n+1时，所确定的直线的条数将增加n+1，由递推关系f(n+1) -f(n)=n+1我们能够求出答案。从图中我们明显看出四棱锥中异面直线的对数为12对。能与棱锥每棱构成异面关系的直线的条数为，进而得到f(n)的表达式。122

10、【解析】解法一：设 ，即。解法二：建立如图所示的坐标系，则A（1，0），即，设则，有最大值2,当时取最大值2.13【解析】此题最适合的方法是特例法假设ABC是以ABAC的等腰三角形，如图，AM3，BC10，ABACcosBAC14【解析】设BF=m,由抛物线的定义知中，AC=2m,AB=4m, 直线AB方程为 与抛物线方程联立消y得所以AB中点到准线距离为15【解析】略16见解析【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。【解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。（2）要证直线平面，只要证平面上的即可证明：（1）是直三棱柱，平面。又平面，。又平面，平面。又平

11、面，平面平面。（2），为的中点，。又平面，且平面，。又平面，平面。 由（1）知，平面，。又平面平面，直线平面17（1）见解析（2）（3）【解析】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.（1）证明：易得，于是,所以(2) ,设平面PCD的法向量，则,即.不防设，可得.可取平面PAC的法向量于是从而.所以二面角A-PC-D的正弦值为.（3）设点E的坐标为（0,0，h），其中，由此得.由，故 所以，解得，即.解法二：（1）证明：由，可得，又由,故.又,所以.(2)如图，作于点H，连接DH.由,可得.因此,从而为

12、二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，因此所以二面角的正弦值为.（3）如图，因为，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BFCD，故.在中，故在中，由,可得.由余弦定理，,所以.【考点定位】本小题主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成德角、直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好18(1) (2) 【解析】试题分析：解：（1）设点，则，又，椭圆的方程为：（2）当过直线的斜率不存在时，点，则；当过直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，设由 得：综合以上情形，得：考点：椭圆的方程、几何性质点评: 本小题主要考查椭圆的方程、几何性质，平面向量的数量积的坐标运算，直线与圆锥曲线的位置关系等基本知识及推理能力和运算能力19(