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1、函数值域求法小结一、观测法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简朴函数）1、求的值域。由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得:2、求函数的值域。分析:一方面由,得+1,然后在求其倒数即得答案。解:+1，0,函数的值域为（，二、配措施（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可运用配措施求值域）、求函数的值域。设:配方得:运用二次函数的有关知识得，从而得出：。阐明:在求解值域（最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数自身定义域的限制,本题为:。2、求函数的值域。解答：此题可以看作是和两个函数复合而成的函数，对配方可得：,得到函数的最大值,再根据得到为增函数且故函数
2、的值域为:。3、若,试求的最大值。本题可当作一象限动点在直线上滑动时函数的最大值。运用两点(4，0),(，)拟定一条直线,作出图象易得：，y1时，取最大值。三、反函数法（分子、分母只具有一次项的函数，也可用于其他易反解出自变量的函数类型)对于存在反函数且易于求得其反函数的函数,可以运用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质,先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的措施求原函数的值域。1、求函数的值域。由于本题中分子、分母均只具有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。反解得即故函数的值域为:。(反函数的定义域即是原函数的值域)2、求函数的值域。解答：先证明有反
3、函数,为此,设且,。所觉得减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：。此函数的定义域为，故原函数的值域为。四、鉴别式法(分子、分母中具有二次项的函数类型,此函数通过变形后可以化为的形式，再运用鉴别式加以判断)1、求函数的值域。由于本题的分子、分母均为有关x的二次形式,因此可以考虑使用鉴别式法,将原函数变形为：整顿得:当时，上式可以当作有关的二次方程，该方程的范畴应当满足即此时方程有实根即，注意：鉴别式法解出值域后一定要将端点值(本题是)代回方程检查。将分别代入检查得不符合方程,因此。2、求函数的值域。解答：先将此函数化成隐函数的形式得：,(1）这是一种有关的一元二次方程，原函数有定义,等价于此方
4、程有解,即方程(1)的鉴别式,解得：。故原函数的值域为:。五、换元法(通过简朴的换元把一种函数变为简朴函数,其题型特性是无理函数、三角函数(用三角代换)等)1、求函数的值域。由于题中具有不便于计算，但如果令：注意从而得:变形得即：注意:在使用换元法换元时一定要注意新变量的范畴,否则将会发生错误。2、已知是圆上的点，试求的值域。在三角函数章节中我们学过：注意到可变形为：令2)则p）即故3、试求函数的值域。题中浮现，而由此联想到将视为一整体，令由上面的关系式易得故原函数可变形为：六、数形结合法(对于某些可以精确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像,然后运用函数图像求其值域）1、求函数的值域
5、。分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式，将原函数视为定点(,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点(2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观测易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时获得,从而解得:2、求函数的值域。分析：此题一方面是如何去掉绝对值，将其做成一种分段函数。在相应的区间内，画出此函数的图像，如图1所示,易得出函数的值域为。七、不等式法（能运用几种重要不等式及推论来求得最值。（如：），运用此法求函数的值域,要合理地添项和拆项,添项和拆项的原则是要使最后的乘积成果中不含自变量,同步,运用此法时应注意取成立的条件。)、当时
6、，求函数的最值，并指出取最值时的值。由于可运用不等式即：因此当且仅当即时取“”当时获得最小值1。2、双曲线的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值是(）。A 4 C2 D根据双曲线的离心率公式易得：,我们懂得因此(当且仅当时取“”)而故（当且仅当时取“=”)。阐明：运用均值不等式解题时一定要注意“一正,二定，三等”三个条件缺一不可。3、求函数的值域。解答:，当且仅当时成立。故函数的值域为。此法可以灵活运用,对于分母为一次多项式的二次分式，固然可以运用鉴别式法求得其值域,但是若能变通地运用此法,可以省去鉴别式法中介二次不等式的过程。、求函数的值域。解答:此题可以运用鉴别式法求解，这里考虑运用基本
7、不等式法求解此题，此时核心是在分子中分解出项来，可以一般的运用待定系数法完毕这一工作,措施是设:，将上面等式的左边展开,有：，故而,。解得,。从而原函数；）当时,，,此时，等号成立,当且仅当。）当时,，此时有，等号成立,当且仅当。综上,原函数的值域为:。八、部分分式法(分离常数法）(分式且分子、分母中有相似的项，通过该措施可将原函数转化为为(常数)的形式）、求函数的值域。观测分子、分母中均具有项,可运用部分分式法；则有不妨令:从而注意：在本题中应排除,由于作为分母。因此故2、如对于函数，运用恒等变形,得到：,容易观测得出此函数的值域为。注意到分时的分子、分母的构造特点，分离出一种常数后，再通过
8、观测或配方等其她措施易得函数值域。九、单调性法（运用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域)1、求函数的值域。由于函数自身是由一种对数函数(外层函数)和二次函数（内层函数)复合而成,故可令：配方得:由复合函数的单调性（同增异减）知:。当函数在上单调,譬如在上递增时，自然有函数在上的值域为(其中,当时,也称其存在，记为);若在上递减，函数在上的值域为。在闭区间上也有相应的结论。2、求函数的值域。此题可以看作和，的复合函数,显然函数为单调递增函数，易验证亦是单调递增函数,故函数也是单调递增函数。而此函数的定义域为。当时,获得最小值。当时,获得最大值。故而原函数的值域为。十、运用导数求函数的值
9、域（若函数f在(a、b）内可导，可以运用导数求得在(、)内的极值,然后再计算在a，点的极限值。从而求得f的值域）求函数在内的值域。分析:显然在可导,且。由得的极值点为。因此,函数的值域为。十一、最值法(对于闭区间a，上的持续函数yf(x)，可求出y=f（）在区间a，内的极值,并与边界值f(a)、f(b)作比较，求出函数的最值,可得到函数y的值域）已知(2x-x-3)（x2+1)0，且满足x+y=,求函数=xy+3x的值域。点拨：根据已知条件求出自变量的取值范畴，将目的函数消元、配方，可求出函数的值域。解:32+x+10,上述分式不等式与不等式x2-30同解，解之得-1x3，又xy1,将y1-x
10、代入=xy+3中，得z= -xx(-1x3/2)，z= -（x-)2+4且x-1,3/，函数在区间-，3/2上持续,故只需比较边界的大小。当x=-1时,z=5;当x3/2时,1/。函数z的值域为z/4。点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域。十二、构造法(根据函数的构造特性,赋予几何图形,数形结合)求函数=x+4x+x2-4x+的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识,拟定出函数的值域。解:原函数变形为f(）(x+)2+1(2-x)2+22作一种长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成2个单位正方形。设HK=x,则ek=2
11、-x,+,K=(2-x)2+2,KC=(x+2）21。由三角形三边关系知,AK+KAC=5。当、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为|y5。点评:对于形如函数y=2+a（c-x)2+b（a,b，均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、以便简捷。这是数形结合思想的体现。十三、比例法(对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式，代入目的函数，进而求出原函数的值域）已知x,y,且3x-4y5=0,求函数z=x2+2的值域。点拨：将条件方程3-4y-5=0转化为比例式,设立参数，代入原函数。解：由34-50变形得,(x3）/4（y1）3=k(k为参数）x=+4，y=1+3,z=2y2(3+4k)2(14+3）2=(+3）2+1。当k=/5时，=3/5,y=/5时，zmin=1。函数的值域为zz1。点评:本题是多元函数关系,一般具有约束条件,将条件转化为比例式，通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题措施体现诸多思想措施,具有一定的创新意识。
