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1、数学发展史和三大数学危机(2个学时)数学的发展涉及数学的萌芽期、常量数学时期 、变量数学时期、近代数学时期。一、数学的萌芽期（小学数学) 重要以记数为主，尚未形成独立的学科。这一时期奉献最大的国家有：中国，古巴比伦,埃及,印度。重要奉献:十进制记数法，记数符号,三角形、梯形和圆的面积的计算,立方体和柱体的体积，截棱锥体的体积公式等。 二、常量数学时期(中学数学） 这一时期又称为初等数学时期，重要发展了算术、初等代数、初等几何(平面几何和立体几何）等。重要代表人物:毕达哥拉斯、祖冲之、杨辉、笛卡儿、韦达等。三、变量数学时期（大学数学) 这一时期又称为高等数学时期。重要创立理解析几何和微积分，这是
2、数学史上最伟大的奉献。重要代表人物:牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、高斯、傅里叶。四、近代数学时期（数学研究） 20世纪0-50年代,电子计算机的浮现和非欧几何的建立，使整个数学王国蓬勃发展。重要奉献:纯数学方面：拓扑学（也称位置几何学、橡皮几何学。画在橡皮上的几何图形,图中的某些性质不变,如封闭性等)、泛函分析、抽象代数等。2.应用数学方面:非原则分析、模糊数学、突变理论、计算机理论、运筹学、优选法、对策论（博奕论)、排队论等。重要代表人物：黎曼、冯.诺依曼、华罗庚、陈省身。刚刚给人们简朴简介了整个数学的发展史,事实上，数学发展到今天,并不是一帆风顺的，其中至少面临了3次大的危机。第一次是公
3、元前世纪(距今约25),古希腊毕达哥拉斯学派的理论被推翻;第二次危机是1世纪，微积分理论的基本受到质疑;第三次是19世纪,数学家罗素提出了集合理论的悖论。一方面,我们来看一下第一次数学危机毕达哥拉斯学派的理论被推翻。生平轶事：毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的出名数学家与哲学家。她出生在爱琴海中的萨摩斯岛（目前希腊东部小岛）的贵族家庭,自幼聪颖好学。相传她小时候有一次背着木柴从街上走过,一位长者看见她捆柴的措施与别人不同,便说:“这孩子有数学奇才,将来会成为一种大学者。”毕达哥拉斯特别向往东方的智慧,通过万水千山,游历了当时世界上两个文化水准极高的文明古国古巴比伦和古印度,吸取了阿拉伯文明和印度
4、文明的文化。后来她就到意大利的南部传授数学及宣传她的哲学思想，并和她的信徒们构成了一种所谓集政治和宗教于一身的团队毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯在那个时代是一位思想非常进步的学者：由于她容许妇女来听她的课。她觉得妇女和男人同样均有求知的权利，因此她的学派中就有十多名女学者，这是其她学派所没有的现象。她觉得每一种人都应当懂某些数学几何知识。有一次她看到一种穷人,她想教她学习几何，因此对这个人说：如果你能学懂一种定理，那么我就给你三块银币。这个人看在钱的份上就和她学几何了，过了一种时期，这个穷人对几何产生了非常大的爱好,反而规定毕达哥拉斯教快某些,她跟毕达哥拉斯说：如果教师你多教我一种定理，我就给一种
5、银币。没过多长时间，毕达哥拉斯就把她此前给那穷人学生的钱所有收回了。毕达哥拉斯提出的出名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。她们很注重数学，企图用数来解释一切。宣称数是宇宙万物的本原,研究数学的目的并不在于使用而是为了摸索自然的奥秘。她们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五这个数。这在今天看来很平常的事,但在当时的哲学和实用数学界，这算是一种巨大的进步。在实用数学方面,它使得算术成为也许。在哲学方面，这个发现促使人们相信数是构成实物世界的基本。毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数,她们觉得“一切数都可表达到整数或者整数之比”。重要成就:毕达哥拉斯在数论和几何上有诸多成就,其中有大成就特别突出。一是
6、她发现了勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方,可画图解说一下)。二是她提出了出名的“万物皆数”理论,毕达哥拉斯觉得世界上所有的数都可以表达到整数或者整数之比，人们觉得这个理论对的吗?固然是错误的，由于毕达哥拉斯所说的数仅仅包具有理数，除了有理数之外，其实尚有无理数的存在。人们能说说自己懂得的无理数吗?我们发现的第一种无理数是（念做根号二）,她的发现者叫希帕索斯生平轶事：希帕索斯是毕达哥拉斯的学生，她提出了一种问题：边长为1的直接三角形的斜边长度是多少呢？她发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表达，而只能用一种新数2（.）来表达(可推理）。希帕索斯的发现导致了数学史上第一种无
7、理数的诞生。这就在当时直接导致了人们结识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。希帕索斯之死:无理数的浮现不仅是对毕达哥拉斯学派的致命打击,也严重伤害了当时全体希腊人的信奉。一种数,是无限又不循环的,永远不能绝对精确呈现。这样的数消灭了当时人们的信奉、破坏了她们的安全感、导致了严重的结识危机。毕达哥拉斯的门徒们恼羞成怒,将希帕索斯扔进了大海。从既有的资料来看,因无理数而死的人还不止希帕索斯一种,由于古希腊数学家普罗科拉斯在给几何原本作注时写道:“一方面泄露无理数秘密的人都丧了命，由于对所有不能体现的和不定形的东西,都要严守秘密，但凡揭发和过问的人，必会遭到消灭,并
8、万世都被永恒的波涛吞噬。”希帕索斯尚有诸多其她的数学家以自己的生命为代价使得无理数的真理为世人所知,为数学的发展做出了重大奉献,如果没有她们的英勇牺牲,我们今天也许都还不懂得无理数的存在。由无理数引起的数学危机始终延续到1世纪。182年，德国数学家戴德金从持续性的规定出发,用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基本上，从而结束了无理数被觉得“无理”的时代，也结束了持续近年的数学史上的第一次大危机。接着我们来看数学史上的第二次大危机微积分的基本受到质疑。微积分的概念：以人们熟悉的速度路程问题来看，一辆小汽车在一段颠簸不平的路上行走，每时每刻的速度其实都是不同样的,微分学就是
9、把车子走过的路程提成无穷多种小段(无穷小量,趋近于0但不等于0,像划分一根米长的绳子,每次减掉绳子的/,划分无多次后来剩余的长度就是一种不小于0的无穷小量)，然后计算车子在通过每一种小段(无穷小量)时的速度的过程。积分学就是将这些无穷多种小段加总起来后得到车子行驶的总路程的问题,微分学和积分学可以简朴看做一组逆运算。微积分理论可以计算出物体任何时刻的瞬时速度(解决“/没故意义，但是物体每一种时刻都是有速度”的问题,可合适引导),还可以计算曲线(画一条曲线)的长度、曲面的面积等等,有了微积分，我们就可以推断轮船、火箭、卫星的运营轨迹。微积分理论的创立者:牛顿（英国人)和莱布尼兹(德国人)。左边是
10、牛顿,右边是莱布尼兹，外国人都长得长不多(哈哈哈）。有关她们俩谁先创立的微积分理论,尚有一段有名的争论。165年夏天，由于英国爆发鼠疫,剑桥大学临时关闭。刚刚获得学士学位、准备留校任教的牛顿被迫离校到她妈妈的农场住了一年多。这一年多被称为“奇迹年”，牛顿对三大运动定律、万有引力定律和光学的研究都开始于这个时期。在研究这些问题过程中她发现了她称为“流数术”的微积分。她在166年写下了一篇有关流数术的短文,之后又写了几篇有关文章。但是这些文章当时都没有公开刊登，只是在某些英国科学家中流传。 而初次刊登有关微积分研究论文的是德国数学家莱布尼茨。莱布尼茨在1675年已发现了微积分,但是也不急于刊登，只
11、是在手稿和通信中提及这些发现。164年,莱布尼茨正式刊登她对微分的发现。两年后，她又刊登了有关积分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推动下，莱布尼茨的措施不久传遍了欧洲。到196年时，已有微积分的教科书出版。 起初没有人来争夺微积分的发现权。1699年,移居英国的一名瑞士人一方面为了讨好英国人(牛顿是英国人),另一方面由于与莱布尼茨的个人恩怨,指责莱布尼茨的微积分是抄袭自牛顿的流数术,但此人并无威望，遭到莱布尼茨的驳斥后，就没了下文。17，牛顿初次完整地刊登了其流数术。当年浮现了一篇匿名评论，反过来指责牛顿的流数术是抄袭自莱布尼茨的微积分。于是究竟是谁一方面发现了微积分，就成了一种需要解决的问题
12、了。17，英国王家学会构成了一种委员会调查此事,在次年发布的调查报告中认定牛顿一方面发现了微积分，并谴责莱布尼茨故意隐瞒她懂得牛顿的研究工作。此时牛顿是王家学会的会长,虽然在公开的场合假装与这个事件无关,但是这篇调查报告其实是牛顿本人起草的。她还匿名写了一篇袭击莱布尼茨的长篇文章。固然，争论并未由于这个英国王家学会的调查报告而平息。事实上，这场争论始终延续到了目前。后人通过研究莱布尼茨的手稿发现,莱布尼茨和牛顿是从不同的思路创立微积分的:牛顿是为解决运动问题，先有微分概念，后有积分概念；莱布尼茨则反过来，先有积分概念，后有微分概念。牛顿仅仅是把微积分当做物理研究的数学工具，而莱布尼茨则意识到了
13、微积分将会给数学带来一场革命。事实上，如果这个事件发生在目前的话,莱布尼茨会毫无争议地被视为微积分的创立者,由于目前的学术界遵循的是谁先刊登谁就拥有发现权的原则,反对长期对科学发现秘而不宣。牛顿与莱布尼茨之争,演变成了英国科学界与德国科学界、乃至英国科学界与整个欧洲大陆科学界的对抗。英国数学家此后在很长一段时间内不肯接受欧洲大陆数学家的研究成果。这使得英国的数学研究停滞了一种多世纪。虽然说“科学没有国界,但是科学家有祖国”(巴斯德语)，但是让民族主义干扰了科学研究，就很容易变成了科学也有国界,被排斥于国际科学界之外，反而阻碍了本国的科学发展。微积分理论的缺陷不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积
14、分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但她们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了某些人的反对与袭击,所谓基本不牢、地动山摇,随着微积分理论的不断发展，基本不明确的问题严重制约了微积分的进一步发展，也引起了数学史上的第二次危机。危机的解决者,微积分的收官人柯西。1，柯西提出极限定义的措施,把极限过程用不等式来刻画,通过柯西等人的艰苦工作，使数学分析的基本概念得到严格的论述。从而结束了微积分二百年来思想上的混乱局面，把微积分及其推广从对几何概念、运动和直观理解的完全依赖中解放出来，并使微积分发展成现代数学最基本最庞大的数学学科。人物生平：柯西
15、(1-187），出生于巴黎,她在数学领域,有很高的建树和造诣。诸多数学的定理和公式都是以她的名字来命名的，例如柯西不等式、柯西积分公式等。柯西在学生时代，有个绰号叫“苦瓜”，由于她平常像一颗苦瓜同样，静静地不说话，如果说了什么，也很简短，令人摸不着头绪。天才往往是孤单的，柯西的朋友很少，只有一群妒嫉她聪颖的人。当时法国正在流行社会哲学，而柯西工作之余常看的书，却是数学家拉格朗日写的的数学书,尚有灵修书籍效法基督，这使她有了另一种外号“脑筋劈哩啪啦叫的人”,也就是神经病的意思。但是性格孤僻并不阻碍她在数学上获得的丰功伟绩,传说柯西年轻的时候向巴黎科学院投寄论文，她的论文写得非常快、非常多，当时的
16、印刷厂为了印制这些论文,抢购了当时巴黎市面上所有店铺的纸张,使得市面上纸张短缺,纸价大增,印刷厂成本上升（洛阳纸贵的故事),于是法国科学院规定刊登的论文每篇篇幅不得超过页，导致柯西不少长篇论文不能在法国刊登,只能在其她国家刊登。柯西的天才和努力,使她完美地解决了第二次数学危机，成为了微积分理论的收官之人,对人类科学的发展做出了巨大奉献。下面，我们接着讲数学史上的第三次大危机罗素提出了集合理论的出名悖论“罗素悖论”。一方面我们来理解一下集合理论:学校图书馆的所有书籍是一种集合，其中每一本书是集合中的一种成员,我们把集合的成员称为元素。我们班上所有同窗也构成一种集合,而你们每一种让你就是这个班集体的成员,也是班级这个集合的元素。集合理论的发明者康托尔（1845-918):康托尔是德国数学家，集合论的创始人。康托尔爱好广泛，
