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1、因式分解知识点1:因式分解的定义1. 分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为 逆运算。如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式： X2 - 9 + 8x = (x + 3)(x - 3) + 8() 9x2 - 4广=(9x + 4y)(9x - 4y)()(x + 3)(x 3) = x2 9() x2 y 2xy2 + xy = xy(x 2y)()知识点2：公因式公因式：定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。公因式的确定：(1) 符号：若第一项是负号则先把负号提出来(提出负号后括号里每一项都要变号)(2)
2、系数：取系数的最大公约数；(3) 字母：取字母(或多项式)的指数最低的；(4) 所有这些因式的乘积即为公因式；例如：1. 多项式-3ab + 6abx - 9aby的公因式是2. 多项式-8a3b2c + 16a2b3 -24ab2c分解因式时，应提取的公因式是()A. -4ab2cB. -8ab3C. 2ab3D. 24a3b3c3. x(m + n)2 一 y(n + m)4 + (m + n)3 的公因式是知识点3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将 多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例如
3、：1.可以直接提公因式的类型：(1) 9a3b2 6a2b4 + 12a4b3 =；(2) an+i 一an-i + an =(3) x(a -b)2 - y(a -b)4 + (a -b)5 =(4)不解方程组J2x + y = 3，求代数式(2x + y)(2x-3y) + 3x(2x + y)的值5x - 3 y = -22. 式子的第一项为负号的类型：(1) 一 4 x 2 y + 6 x 2 y 2 一 8 x 3 y 3 = 一 4( m + n)3 8(m + n)4 + 12(m + n)2 =(2) 若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解(特别是用到平
4、方差 公式时)如：一 8x2 +18y2练习：1.多项式：一 6ab + 18abx + 24aby的一个因式是6ab，那么另一个因式是()A. 一 1 一 3x + 4yB.1 + 3x 一 4yc 一 1 一 3x 一 4yd. 1 一 3x 一 4 y2. 分解因式一5(y x)310y(y x)33. 公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来， 使其统一于之前确定的那个公因式。(若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母 的位置，如(x - y)6-(y - x )5 = (y - x)6 - (y - x
5、)5 = (y - x)5(y - x-1)例：(1) (ba) 2+a (ab) +b (ba)(2) (a+bc) (ab+c) + (ba+c) (bac)(3) a(a 一b)3 + 2a2(b a)2 一 2ab(b 一a)练习：1. 把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于()(A)(a-2)(m2+m)(B)(a-2)(m2-m)(C)m(a-2)(m-1)(D)m(a-2)(m+1)2. 多项式x(y 3) x3(3 y)的分解因式结果()A. (y一3)(x + x3)b. (y一3)(x一x3)c. x(y一3)(1 + x2)d. x(y 3)(1 一x)3. 分
6、解因式：(1) m(x y) + n(y x) = (x y)()(2) 6(x y)43y(y x)5知识点4公式法分解因式.公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。一、平方差公式分解因式法平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。即 a2-b2=(a+b)(a-b)特点：1、是一个二项式，每项都可以化成整式的平方|2.两项的符号相反.例如：1、判断能否用平方差公式的类型.(1)下列多项式中不能用平方差公式分解的是()(A)-a2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2(D)16m4-25mp2(2)
7、.下列各式中，能用平方差分解因式的是()2、直接用平方差的类型（1） 16x2 9y2（2） 一25x2 +1（3） x4 -13、整体的类型：（1）（m + n）2 一n2（2） 一 （x + y）2 + （2x一3y）24、提公因式法和平方差公式结合运用的类型（1）m34m=. （2） a 3 一 a 练习：将下列各式分解因式（1） （x2 +1） 4x2（2）100x2 81y2；（3）9（ab）2 （x y）2；（4） a 一 a5（5）一 x3 + 9x（6） （m 一 n）3 （m 一 n）（7） （2x - y） - 4（2x- y）3二、完全平方式分解因式法完全平方公式：两个数
8、的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方。即 a2+2ab+b2=（a+b） 2 ;a2-2ab+b2=（a-b） 2特点：（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解如：下列多项式能分解因式的是（）A. x2 y b. x2 + y2c. x2 + y2 + y d. x2 6x + 92、关于求式子中的未知数的问题如：1.若多项式x2 + kx +16是完全平方式，则k的值为（）A.4 B. 4C.8D.4 2 .若9x2 6x
9、 + k是关于x的完全平方式，则k=3.若x2 + 2(m 3)x + 49是关于x的完全平方式则m=3、直接用完全平方公式分解因式的类型x 24 4(1) x2+8x +16 ；(2) 4x2 + 12xy 9y2 ；(3) + xy + y2 ；(4) 9 m2 + 3 mn + n24、整体用完全平方式的类型(1)(x 2)2+12(x 2)+36；(2) 9 + 6(a + b) + (a + b)25、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型(1)-4x3+16x2-16x；(2)ax2y2+2axy+2a2(3)已知：ab = 1,x y = 2，求3abx2 + 3aby2 6x
10、yab 的值练习：分解因式(1) x2 一4x + 4(2) a2x2 + 16ax + 64(3) a4 一8a2b2 + 16b4(4) (x + y)2 14(x + y) + 49(5) 9 + 6(a + b) + (a + b)2（6） 3x3 -12x2y +12xy2知识点5、十字相乘法分解因式(7) 2x2 + 2x + 2.十字相乘法分解因式: 某些多项式分解因式 如:分解因式： x2 7 x +10逆用整式的乘法公式：（X+a）（X+b）这种分解因式的方法叫做十字相乘法。=x2 + (a + b)x + ab， 用来把a2+6ab+5b2(4) X2+5x+6(5) X2
11、-5X+6(6) X2-5X-6练习:(1) X2+7X+12(2) X2-8X+12(3) X2-X-12(4) X2+4X-12(5) y2+23y+22(6) X2-8X-20(7) X2+9X y-36 y(4) X2+5X-6知识点6、分组的方法分解因式如(1) m 3 + 4m 4 一 5 - 20m(2) 一 4x4 + y2 + 4x2 一 1练习：(1)9a 2 一 4b 2 + 4bc c 2(2) x3 + 3x2 一4x一 12(3) x2 + 2x一6y一9y2(4) 9x2 一 y2 一 4y 一 4(5) xy2 2xy + 2y 4小结因式分解的常规方法和方法运
12、用的程序，可用“一提二公三叉四分”这句话来概括。“一提”是指首先考虑提取公因式；“二公”即然后考虑运用公式（两项用平方差公式三项的 用完全和平方、差平方公式）；“三叉”就是二次三项式能否进行十字相乘法；“四分”是四项以 上考虑分组分解法。课后练习：分解因式单元练习一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（）（A） 2（a 一 b）= 2a 一 2b（B） m2 1 二（m + 1）m 1）（C） x2 2x +1 = xCx 2）+1（D） a （a 一 b）b +1）=2 ab）b +1）2. 把多项式一8a2b3+16a2b2C2 24a3bc3分解因式
13、，应提的公因式是（），(A)8a2bc(B)2a2b2C3(C)4abc (D)24a3b3C33. 下列因式分解中，正确的是（）(A) 3m2 -6m = m(3m-6)(B) a2b + ab + a = a(ab + b)(D) x2 + y2 = (x + yl(C) 一 x2 + 2xy 一 y2 = (x一 y4. 下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（）5. 把一6(x y)3 3y(y x)3分解因式，结果是().(A)3(x y)3(2 + y)(C) 3(x y)3(y+2)6. 下列各式变形正确的是(A) 一 a -b = (a -b)(C) ( a -bI =-(
14、a + bI(B) (x y)3(6 3y)(D)3(x y)3(y 2)(B) b a = (a b)(D) (b a)2 = (a b)27. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是().(A) 4x21(B) 4x2 + 4x1(C) x2 xy+y2D.x2 x + ：乙8. 因式分解4 + a2 4a正确的是().(A) (2 a)2(B) 4(1 a)+a2(C) (2 a)(2 a)(D) (2 + a)29. 若4x2 mx + 9是完全平方式，则m的值是()(A) 3(B) 4(C) 12(D)1210. 已知a + b = 3, ab = 2，则(a b 的值是()。(A)1(B)4(C)16(D)9二、填空题(每题4分，共20分)1.2.4a 2b + 10ab 2分解因式时，应提取的公因式是am + bm = m()； x 1 = ()； a b + c = a (3. 多项式x2 9
