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1、目录摘要：1关键词1绪论11. 微分中值定理有关知识12. 微分中值定理的证明和推广42.1罗尔定理的证明及其推广42.1.1罗尔定理的证明42.1.2罗尔定理的推广42.2拉格朗日中值定理的证明及其推广52.2.1拉格朗日中值定理的证明52.2.2拉格朗日中值定理的推广52.3柯西中值定理的证明62.4洛必达法则的证明63. 微分中值定理的解题应用73.1微分中值定理的解题模式73.1.1应用微分中值定理解题的基本步骤73.1.2用中值定理证明等式与不等式83.2微分中值定理的应用83.2.1在等式与不等式证明中的应用83.2.2关于方程根的讨论（根的存在性与根的个数）113.2.3洛必达法
2、则的应用133.2.4泰勒公式的应用15总结16致谢：16参考文献：16英文摘要18微分中值定理及其在解题中的应用作者：夏青1指导教师：刘爱国（安徽农业大学理学院信息与计算科学专业合肥230036）摘要: 微分中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之 间的定量联系，在进行公式推导与定理证明等许多方面它都有着重要的应用。本 论文在特别介绍微分中值定理的内容和传统证明思想的同时，还阐述了微分中值 定理在证明恒等式和不等式及讨论方程根的存在性等方面的应用。关键词: 函数 导数 中值定理 应用绪论我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数 在一点的局部特征
3、；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态。如何解 决这其中的矛盾？我想我们需要在导数及函数间建立起联系-也就是搭起一座 桥，这个“桥”就是微分中值定理。以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的微分中值定理是整个 微分学的理论基础，是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质 推断函数的整体性质的有力工具。它们建立了函数值与导数值之间的定量联系， 因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态。1. 微分中值定理有关知识微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要 的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况 或推广，下面是与微分
4、中值定理及其密切相关定理的一系列知识。（1）费马中值定理内容：设函数f （x）在&处取得极值，且f （x）在点&处可导，则广&） = 01作者简介：夏青，男，（1988.07），安徽省淮北市人，汉族，2007年9月至2011年7月在 安徽农业大学理学院信息与计算科学专业学习。论文完成时间：2011年6月。推论：若函数f在区间I上的最大值(最小值)在I内的点c处达到，且f在点c处可导；则f(c)=0。(2) 罗尔中值定理 若f满足如下条件：(1) f在闭区间a,b上连续；(2) f在开区间(a,b)内可导;(3) 在区间端点处的函数值相等，即f (a) = f (b ).;则存在 & g (a,
5、 b)，使得 f，(& ) = 0。几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧是一条连续的曲线弧，除端点外处处 有不垂直于轴的切线，且两端点的纵坐标值相等；而定理结论表明，曲线弧上全 少有一点，曲线在该点的切线是水平的。(3) 拉格朗日中值定理若函数f满足以下条件：(1) f在a, b上连续；(2) f在(a,b)内可导；则在(a,b)内至少存在一点&，使得住)=穿更.b 一 a其几何意义：可微曲线上存在一点，使其切线平行于端点的连线。(4) 柯西中值定理 若函数f,g(x = g(u),y = f (u),u &a,b)满足如下条件：(1) f,g Ga,b；(2) f, g在(a,b)内可导;(3
6、) 广,g至少有一个不为0；(4) g(a)。g(b)；则存在& G(a,b)，使得f0)_ f (b) - f (a)r。g (&) g (b) - g (a)其几何意义：视为曲线的参数；u - f (x), v - g (x), x Ga, b，则以v为横坐标，u为纵坐标可得曲线上有一点，该处切线与曲线端点连线平行。从上述后三个定理我们有如下几个说明：(1) 三个定理中的条件都是充分条件，但非必要条件。(2) 拉格朗日定理中涉及的公式：广&) - f (b)一f (a)称之为“中值公式”。b - a这个定理也称为微分基本定理。中值公式有不同形式：.f (b) - f (a) = f0(b
7、- a)& e(a, b);(ii) .f (b) - f (a) = f (a + (b -a)0)(b -a),0 0 1;(iii) .f (a + h) 一 f (a) = f (a +0h),0 0 1.此处，中值公式对a b均成立。此时&在a,b之间；(ii), (iii)的好处 在于无论a,b如何变化，0 e(0,1)易于控制。这三个定理都仅“定性”地指出了 中值点&的存在性，而非“定量”地指明&的具体数值，要深刻体会这些定理在 微分学中的意义与作用。中值定理在一些证明与计算中有着广泛的应用，看一下 它的几个具体的在导数中的应用。(5) 泰勒中值定理 设函数f在(a,b)内存在直
8、到n +1阶导数，七e (a,b)，则对任一 x e (a, b)，有f (x) = f (x ) + f (x )(x - x ) + f (X0) (x - x )2 +八 J 0 J 002!0f (x )f (n+1)(E )+.0 (x - x )n +. (x - x )n+1,其中&介于x0, x之间.(6) 洛必达法则 设当x T a时，函数f (x)及F (x)都趋于零；(2) 在点a的去心邻域内，f (x)及F (x)都存在且F (x) #0；(3) 当x T a时lim f (x) / F (x)存在(或为无穷大)。那么x T a 时，lim f (x) / F (x)
9、= lim f (x) / F (x)。又设(1)当x T8时，函数f (x)及F(x)都趋于零；(2) 当 | x |N 时，f (x)及 F (x)都存在，且 F (x) #0；(3) 当时x T3，lim f (x) / F (x)存在(或为无穷大)。那么x T3 时，lim f (x) / F (x) = lim f (x) / F (x)。2. 微分中值定理的证明和推广2.1罗尔定理的证明及其推广2.1.1罗尔定理的证明罗尔定理：设函数f 3)满足条件(1) f在a, b上连续；(2) f在(a,b)内可导；(3) f (a) = f (b)。则在(a,b)内至少存在一点& g (a
10、,b)，证：因为f (x)在a,b上连续， f (x)在a, b上必取得最大值M与最小值m.(1)若 M = m，则对任一 xGa,b, f (x)-M .此时任取&c(a,b)，都有 f(&)=0 成立.(2)当M m，则M与m中至少有一个不取f (a) = f (b)，不妨设 M。f (a)，那么必定在(a,b)内有一点&，使f (提=M，因此，Vxg a ,b，有f (x) f (提，由费马定理知f(&)=0 .注意：罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的.若罗尔定理的三个条 件中有一个不满足,其结论可能不成立。2.1.2罗尔定理的推广由以上对定理的证明，我们可以很容易得到罗尔定理的一
11、个推论：若f在x , x 上连续，在(x , x )上可导，f (x )= f (x )= 0，则存在& G(x , x )， ,、12121212使得 fG)=0。2.2拉格朗日中值定理的证明及其推广2.2.1拉格朗日中值定理的证明拉格朗日中值定理：设函数f满足如下条件:(1)： f在闭区间a,b上连续;(2： f 3)在开区间(a,b)内可导。则至少存在一点顷a a (如下y = f (x)证明：作辅助函数F(x) = f (x) 一 f (a) 一 f (b) f (a) (x一a) b 一 a显然，F(a) = F(b) = 0,且F在a,b上满足罗尔定理得另两个条件。故存在(a, b
12、)，使F 仕)=f 仕)-f (一 f (a)=0 b 一 a即：广(提二 f (b) 一 f (a)b - a至此，定理证明完毕。2.2.2拉格朗日中值定理的推广设函数f (x)满足如下条件：(1) ： f (x)在闭区间a,b上连续；(2) ： f (x)在开区间(a,b)内可导。推论1若在(a,b)内，f,(x)三0，则在(a,b)内f (x)为一常数。推论 2 若在(a,b)内，f (x) = g(x)，则在(a,b)内 f (x) = g(x) + c(c 为常数)。2.3柯西中值定理的证明Cauchy 定理：若函数 f, g(X = g(u), y = f (u),U efl,b)
13、满足如下条件：(1) f,g eta,b；(2) f, g在(a,b)内可导;(3) 广,g至少有一个不为0;(4) g(a)。g(b)。则存在& e(a,b)，使得 f &) =_f(a-g (&)g (b) - g (a)证明:令 F ( x) = f ( x)-f (a)一 f g (X) g (a) - g (b)因为 F(a) = F(b) = f (叩(b) -f (b)g(a) Lg(b) - g(a)又由罗尔定理知：存在&e (a,b)，使得F(&) = 0。又知 Ff(x) = f f(x)-fOf g ( x) Lg(a) - g(b)faf g，(&) = 0 Lg(a)
14、 - g(b)故定理得证。f (&) = tf (a) - f (b)即 g(&)Lg(a) - g(b)2.4洛必达法则的证明以“ 0，型的不定式极限的证明为例：0若(1) lim f (x ) = 0 , lim g (x ) = 0 ；XXX X(2) f与g在x0的某空心领域U0(X。)内可导，且g3更0 ；f (x)f (x )f (x )lim = lim = A。Xf g (X ) X T x0 g (X )这是法则的内容，而我们在计算时往往都是直接的应用结论，没有注意到定理本 身的证明，而这个定理的证明也应用到了中值定理。证明：首先补充定义f与g在点X。的值，令f(X0)= g (X0)= 0。现在S(X0)内任取一点X，在以X0, X为端点的区间上应用柯西中值定理，有 f (x)- f (x )广。g (x)g (x)=衣)(顼 X0 与 X之间)0f(x) f (&) 即E=E由于XTX时，也有&TX。因此上式两边令X T X，求其极限，由定理条 000件(3)便得所要证明的结论。若将定理中X T X0换成X T8 , X T8，只要相应地修正条件(2)，也
