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1、蒙特卡罗算法以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机 实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特 卡罗命名。又称统计模拟法、随机抽样技术。由S.M.乌拉姆和J.冯诺伊曼在20世纪40年代为研制核武 器而首先提出。它的基本思想是，为了求解数学、物理、工程技术以及管理等方面的问题，首先建立一 个概率模型或随机过程，使它们的参数，如概率分布或数学期望等问题的解；然后通过对模型或过程的观 察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，并用算术平均值作为所求解的近似值。对于随机性问题，有时 还可以根据实际物理背
2、景的概率法则，用电子计算机直接进行抽样试验，从而求得问题的解答。蒙特卡罗方法有很强的适应性，问题的几何形状的复杂性对它的影响不大。该方法的收敛性是指概率意义 下的收敛，因此问题维数的增加不会影响它的收敛速度，而且存贮单元也很省，这些是用该方法处理大型 复杂问题时的优势。因此，随着电子计算机的发展和科学技术问题的日趋复杂，蒙特卡罗方法的应用也越 来越广泛。它不仅较好地解决了多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程 组求解等高难度和复杂的数学计算问题，而且在统计物理、核物理、真空技术、系统科学 、信息科学 、 公用事业、地质、医学，可靠性及计算机科学等广泛的领域都得到成功的
3、应用。蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分 支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。 传统的经验方法 由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际 物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。这也是我们采用该方法的原因。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随 机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机 变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙
4、特卡罗方法通过抓 住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是 以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。 可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建 立各种估计量。蒙特卡罗解题三个主要步骤：构造或描述概率过程：对于本身就具有随机性质的 问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性 问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题 的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 实现从已
5、知概率分布抽样： 构造了 概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的， 因此产生已知概 率分布的随机变量(或随机向量)，就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特 卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是 (0,1)上的均匀分 布(或称矩形分布)。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布 的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。 产生随机数的问 题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能 重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。
6、这样产生的序列， 与真正的随机数序列不 同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数， 或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。 由已知分布随机抽样有各 种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说， 都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 建立各种 估计量：一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后， 我们就要确定一个随 机变量，作为所要求的问题的解， 我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的 结果进行考察和登记，从中得到问题
7、的解。例如：检验产品的正品率问题，我们可以用 1 表示 正品，0表示次品，于是对每个产品检验可以定义如下的随机变数Ti，作为正品率的估计量：于 是，在N次实验后，正品个数为：显然，正品率p为：不难看出，Ti为无偏估计。当然，还可 以引入其它类型的估计，如最大似然估计，渐进有偏估计等。但是，在蒙特卡罗计算中，使用最 多的是无偏估计。用比较抽象的概率语言描述蒙特卡罗方法解题的手续如下： 构造一个概率空间 (W ,A,P)，其中，W是一个事件集合，A是集合W的子集的s体，P是在A上建立的某个概 率测度；在这个概率空间中，选取一个随机变量q (w ),w I W ,使得这个随机变量的期望值正 好是所要
8、求的解 Q ，然后用 q (w )的简单子样的算术平均值作为 Q 的近似值。蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题 非常困难，而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：直接追踪粒子， 物理思路清晰，易于理解。采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计 涨落的规律。不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方 法。 MC程序结构清晰简单。研究人员采用MC方法编写程序来解决粒子输运问题，比较容 易得到自己想得到的任意中间结果，应用灵活性强。MC方法主要弱点是收敛速度较慢和误差 的概率性质，其概率误差正比
9、于，如果单纯以增大抽样粒子个数 N 来减小误差，就要增加很大 的计算量。近十年来，蒙特卡罗方法发展很快，从 1983 年到 1988 年期刊论文数量增长了五 倍，有几本好书是关于电子光子蒙特卡罗问题的注1,蒙特卡罗方法的代码被认为是黑匣 子，它已成为计算数学中不可缺少的组成部分，这主要是因为以下原因：传统的分析方法受到 了问题复杂性的限制。 MC方法直观，对实验者很有吸引力。计算机变得更快更便宜。量 子理论的发展为我们提供了辐射与物质相互作用的截面数据。注1： I.Lux a ndL.Koblinger,MONTE CARLO PARTICLE TRANSPORT METHODS:MEUTRO
10、N AND PHOTO CALCULATIONS (CRC Press,1991). R丄.Morin(Editor),MONTE CARLOSIMULATION IN THE RADIOLOGICAL SCIENCES (CRC Press,1988).Contributors: H.-P. Chan, K.Doi, J.E.Goin, R.L.Morin, R.Nath, D.E.Raeside,J.C.Widman and J.F.Williamson T.M.Jenkins, W.R.Nelson, A.Rindi, A.E.Nahum and D.W.O.Rogers (Editor
11、s), MONTE CARLO TRANSPORT OF ELECTRONS AND PHOTOS (Plenum Press,1988). Contributors: P.Andro, M.J.Berger, A.F.Bielajew, A.Del Guerra, B.Grosswendt, J.Halbleib, A.Ito, T.M.Jenkins, R.Monhan, A.E.Nahum, W.R.Nelson, D.W.O.Rogers, S.Seltzer and R.Wang 蒙特卡罗方法的计算程序：关于蒙特卡罗方法的计 算程序已经有很多，如：EGS4、FLUKA、ETRAN、I
12、TS、MCNP、GEANT等。这些程序大多 经过了多年的发展，花费了几百人年的工作量。除欧洲核子研究中心(CERN )发行的GEANT 主要用于高能物理探测器响应和粒子径迹的模拟外，其它程序都深入到低能领域，并被广泛应用。 就电子和光子输运的模拟而言，这些程序可被分为两个系列：1EGS4、 FLUKA、 GRANT2ETRAN、 ITS、 MCNP 这两个系列的区别在于：对于电子输运过程的模拟根据不同的理论 采用了不同的算法。 EGS4 和 ETRAN 分别为两个系列的基础，其它程序都采用了它们的核心算 法。ETRAN(for Electron Transport)由美国国家标准局辐射研究中心
13、开发，主要模拟光子和 电子，能量范围可从 1KeV 到 1GeV。 ITS(The integrated TIGER Series of Coupled Electron/Photon Monte Carlo Transport Codes ) 是由美国圣地亚哥(Sandia )国家实验 室在ETRAN的基础上开发的一系列模拟计算程序，包括TIGER、CYLTRAN、ACCEPT等， 它们的主要差别在于几何模型的不同。 TIGER 研究的是一维多层的问题， CYLTRAN 研究的是 粒子在圆柱形介质中的输运问题， ACCEPT 是解决粒子在三维空间输运的通用程序。NCNP(Monte Carl
14、o Neutron and Photo Transport Code) 由美国橡树林国家实验室 (Oak Ridge National Laboratory) 开发的一套模拟中子、光子和电子在物质中输运过程的通用 MC 计算程序，在它早期的版本中并不包含对电子输运过程的模拟，只模拟中子和光子，较新的版本 (如MCNP4A )则引进了 ETRAN，加入了对电子的模拟。FLUKA是一个可以模拟包括中子、 电子、光子和质子等 30 余种粒子的大型 MC 计算程序，它把 EGS4 容纳进来以完成对光子和 电子输运过程的模拟，并且对低能电子的输运算法进行了改进。蒙特卡洛法在整数规划中的应用4 蒙特卡洛法
15、(随机取样法) 前面介绍的常用的整数规划求解方法，主要是针对线性整数规划而言，而对于非线性整 数规划目前尚未有一种成熟而有效的求解方法，因为非线性规划本身的通用有效解法尚未找 到，更何况是非线性整数规划。然而，尽管整数规划由于限制变量为整数而增加了难度；然而又由于整数解是有限个， 于是为枚举法提供了方便。当然，当自变量维数很大和取值范围很宽情况下，企图用显枚举 法(即穷举法)计算出最优值是不现实的，但是应用概率理论可以证明，在一定的计算量的 情况下，完全可以得出一个满意解。例 7 已知非线性整数规划为：Max z = x2 + x2 + 3 x2 + 4 x2 + 2 x2123458 x 2
16、 x 3 x x 2 x123450 x 99(i = 1,5)ix + x + x + x + x 40012345s.t. x + 2x + 2x + x + 6x 800123452 x + x + 6 x 200123x + x + 5 x 200345对该题，目前尚无有效方法求出准确解。如果用显枚举法试探，共需计算(100)5 =1010 个点，其计算量非常之大。然而应用蒙特卡洛去随机计算10 6 个点，便可找到满意解，那么 这种方法的可信度究竟怎样呢？下面就分析随机取样采集10 6 个点计算时，应用概率理论来估计一下可信度。 不失一般性，假定一个整数规划的最优点不是孤立的奇点。假设目标函数落在高值区的概率分别为 0.01，0.00001，则当计算106 个点后，有任一 个点能落在高值区的概率分别为1 0.
