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1、21.1 一元二次方程一、教学目标（1）会根据简单的实际问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想.（2）了解一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式.（3）会判断一个数是否是一个一元二次方程的解及利用他们解决一些具体问题.二、 教学重难点（1） 教学重点：一元二次方程的定义及其一般形式，一元二次方程的根；（2） 教学难点：通过列出一元二次方程来解决实际问题；知识点一：一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.【提醒】由一元二次方程的定义可知，只有同时满足以下三个条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2
2、.这样的方程才是一元二次方程.例1.下列方程中是一元二次方程的是（）Axy+2=1BCx2=0Dax2+bx+c=0【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数是2次的整式方程，即可判断答案【解答】解：根据一元二次方程的定义：A、是二元二次方程，故本选项错误；B、是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；C、是一元二次方程，故本选项正确；D、当a b c是常数，a0时，方程才是一元二次方程，故本选项错误；故选：C【点评】本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解，关键是知道一元二次方程含有3个条件：整式方程，含有一个未知数，所含未知数的项的次数是1次例2下列方程是关
3、于x的一元二次方程的是（）Ax2+=1Bax2+bx+c=0C（x+1）（x+2）=1D3x22xy5y=0【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案【解答】解：A、x2+=1是分式方程，故此选项错误；B、ax2+bx+c=0（a0），故此选项错误；C、（x+1）（x+2）=1是一元二次方程，故此选项正确；D、3x22xy5y=0是二元二次方程，故此选项错误故选：C【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键变式1.若关于x的方程（m2）x2+mx1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（）Am2Bm=2Cm2Dm0【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须
4、满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可【解答】解：由题意，得m20，m2，故选：A【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点变式2若关于x的方程ax23x=2x22是一元二次方程，则a的值不能为（）A2B2C0D3【分析】依据一元二次方程的一般形式进行判断即可【解答】解：关于x的方程ax23x=2x22是一元二次方程，（a2）x23x+2=0是一元二次方程，a20a2故选：A【点评】本题主要考查
5、的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键知识点二：一元二次方程一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax+bx+c=0(a0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax称为二次项，bx成为一次项，c称为常数项，a为二次项系数，b为一次项系数.【提醒】1. 任何关于x的一元二次方程都可以化成ax+bx+c=0(a0)的形式，其中“a0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，也是一元二次方程的判断标准之一，而b,c可以为0.2.任何一个一元二次方程经过整理(去分母、去括号、移项、合并同类项)都可以化为一般形式，因此不难求出各项系数.
6、3.二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项都包含它前面的符号，一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数不是正数，可以在方程两边同时乘-1，使二次项系数变为正数，例如：方程-2x+3x+1=0可化为2x-3x-1=0，其中二次项为2x，二次项系数为2，一次项为-3x，一次项系数为-3，常数项为-1.例1方程2x26x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A6，2，9B2，6，9C2，6，9D2，6，9【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0），特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是
7、常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式【解答】解：方程2x26x=9化成一般形式是2x26x9=0，二次项系数为2，一次项系数为6，常数项为9故选：C【点评】注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号例2一元二次方程（x+3）（x3）=5x的一次项系数是（）A5B9C0D5【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项【解答】解：化为一般式，得x25x9=0，一次项系数为5，故选：A【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：a
8、x2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项变式1.将一元二次方程3x22=4x化成一般形式为（）A3x24x+2=0B3x24x2=0C3x2+4x+2=0D3x2+4x2=0【分析】方程整理为一般形式即可【解答】解：方程整理得：3x24x+2=0，故选：A【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0（a0）变式2关于x的一元二次方程（m1）x2+5x+m23m+2=0的常数项是0，则m的值（）A1B1或2C2
9、D1【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项【解答】解：由题意，得m23m+2=0且m10，解得m=2，故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项知识点三：一元二次方程的根能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.【提醒】一元二次方程的根必须满足两个条件：一是未知数的值；二是必须使方程的左
10、、右两边相等.例1.若2是方程x24x+c=0的一个根，则c的值是（）A1BCD【分析】把2代入方程x24x+c=0就得到关于c的方程，就可以解得c的值【解答】解：把2代入方程x24x+c=0，得（2）24（2）+c=0，解得c=1；故选：A【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根例2关于x的一元二次方程x2+a21=0的一个根是0，则a的值为（）A1B1C1或1D3【分析】根据关于x的一元二次方程x2+a21=0的一个根是0，将
11、x=0代入方程即可求得a的值，本题得以解决【解答】解：关于x的一元二次方程x2+a21=0的一个根是0，02+a21=0，解得，a=1，故选：C【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解得意义变式1.若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则（）Aa+b+c=1Bab+c=0Ca+b+c=0Dabc=0【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=1代入原方程可以求得a、b、c的关系【解答】解：把x=1代入ax2+bx+c=0，可得：a+b+c=0；故选：C【点评】本题考查的是一元二
12、次方程的根即方程的解的定义变式2.若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=2【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=2，然后利用整体代入的方法进行计算【解答】解：2（n0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，4+2m+2n=0，n+m=2，故答案为：2【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根拓展点一：一元二次方程的判断例1.若方程（m2）x+
13、（m+3）x+5=0是一元二次方程，求m的值【分析】依据一元二次方程的定义列出关于m的不等式组求解即可【解答】解：方程（m2）x+（m+3）x+5=0是一元二次方程，m20且m25m+8=2，解得：m=3【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，依据一元二次方程的定义得到关于m的不等式组是解题的关键例2x2a+b2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值【分析】本题根据一元二次方程的定义求解分5种情况分别求解即可【解答】解：x2a+b2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，解得；，解得；，解得；，解得；，解得综上所述，【点评】本题主要考查了一元二次方程的概念解题的关键是分5种情
14、况讨论x的指数拓展点二：利用一元二次方程的定义求字母的值例1当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m1）x4=3x2（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x=2是它的一个根，求m的值【分析】（1）根据二次项系数不为0解答；（2）根据二次项系数为0，一次项系数不为0解答；（3）根据题意列出关于m的一元二次方程，解方程即可【解答】解：原方程可化为（m21）x2+（m1）x4=0，（1）当m210，即m1时，是一元二次方程；（2）当m21=0，且m10，即m=1时，是一元一次方程；（3）x=2时，原方程化为：2m2m3=0，解得，m1=，m2=1【点评】本题考查的是一元一次方程的定义、一元二次方程的定义和一元二次方程的解法，掌握概念、正确解出一元二次方程是解题的关键例2.关于x的方程（m+1）x|m1|+mx1=0是一元二次方程，求m的值【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，据此即可求解【解答】解：根据题意得，|m1|=2，且m+1
