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1、因式分解的高级方法解析版因式分解的高级方法一.双十字相乘法1 .双十字相乘法原理计算 2x 3y 5 3x y 1 6x2 7xy 3y2 13x 8y 5 .从计算过程可以发现，乘积中的二次项6x2 7xy 3y2 只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中 的一次项13x 8y ,只和乘式中的一次项及常数项有关 系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。2 .所以运用双十字乘法对 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F型的 多项式分解因式的步骤：1用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；2在这个十字相乘图右边再画一个十字，把 常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使 这两个因
2、数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式 中含y的一次项的系数E,同是还必须与第一个十字 中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于 原式中含x的一次项的系数D.:.对称式与轮换对称式【定义1】一个n元代数式严)，如果交换任意两 个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的 一 称这个代数式为n元对称式)简称对称式。1 I j n者B 有 f（Xi,“： XL Xj 产 Xn）f（Xi 严，XjL Xi ,Xn)那么)就例如,x y, Xy,y, X2 y2 z2, Xy yz zx都是对称式。如果n元对称式是一个多项式，那么称这个代数 式为n元对称多项式。由定义1知，在对称式中，必包含任意交换
3、两个 字母所得的一切项，例如，在对称多项式f(x, y, z)中，假设有ax3项，那么必有ay： az3项；假设有bx2y项，那么必 有bx2z,by2z, by2x, bz2x, bz2y项,这些项叫做对称式的同形项, 同形项的系数都相同。根据对称多项式的定义，可以写出含n个字母的 对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母X, y, z的 二次对称多项式的般形式是：【定义2】如果一个n元多项式的各项的次数均 等于同一个常数那么称这个多项式为n元r次齐次 多项式。由定义2知,门兀多项式f(X,幻是r次齐次多项式，当且仅当对任意实数t有例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：【定义3 一个n元代数
4、式f(xi, X2,: Xn)如果交换任 意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i，j 1 i j n)都有f (Xi,- Xi,- Xj,“： 2)f(Xi 严：Xj,“： Xi,- Xn) 那么就称这个代数式为n元交代式。例如,Xy,(Xy)(y z)(z X),Jy均是父代式。X y【定乂 4】如果一个n父代数式f(Xi, X2,.: Xn) ,如果将字Xi,X2J*：Xn以X2 代Xi)X3 代为,节Xn 代Xn代Xn后代数式不变,f (Xi, X2,*: Xn)f(X2, X3,”： Xn, Xi)那么称这个代数式为n元轮换对称式,简称轮换式。显然，对称式一定是轮换式，但
5、轮换式不一定是对z2x)称式。例如,a(X2 y2 z2)是对称式也是轮换式；b(X2y y2z 是轮换式，但不是对称式。对称式、交代式、轮换式之间有如下性质:1两个同字母的对称式的和、差、积、商仍 是对称式；2两个同字母的交代式的和、差是交代式它 们的各、商是对称式；3同字母的对称式与交代式的积、商是交代式;4两个同字母的轮换式的和、差、积、商是 交代式；5多变无的交代多项式中必有其中任意两变 元之差的因式。【定义5】下面n个对称多项式称为n元根本对称 多项式。例如，二元根本对称多项式是指x y, xy ,三元根本对称式是指 x y z, xy yz zx, xyz当你学完了高等代数的时候就
6、会知道，任何一个 I 元对称多项式都可以表示为根本对称多项式的多项 式。这个结论对解题的指导作用。2.对称式、轮换式、交代式在解题中的应用为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介 绍二元和三元的情形，对于多元的情形，只需作类似 的处理即可。下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些 常用技巧1假设f(x, y, z)是对称式，那么在解题中可设 xyz。为什么？2假设f(x, y, z)是对称式，那么当x, y满足性质3假设 f(x，y, z) 最大小,p时,x, z； y, z也满足性质p oI是轮换式，那么在解题中可设x ,但不能设x y z。为什么？4假设f(x, y, z)是轮换式，且
7、x, y满足性质p 么y, z; z, x也满足性质p v， yz, z5假设f(x, y, z)是交代多项式，那么x f(x, y, z)的因式,即其中g(x, y, z)是对称式。f(x, y, z) (x y)(y z)(z x)g(x, y, z)其中 g(x, y, z)是对称式在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式, 次轮换对称多项式，齐次交代多项式是常用的。齐次对称多项式的一般形式：1二元齐次对称多项式一次：a(x y)二次:三次:22a(x y ) bxya(x3 y3) bxy(x y)2三元齐次对称多项式一次:二次:三次:判定a(x y z)222a(x y z ) b(
8、xy yz zx)a(x3mx ny是：令 mx ny rzy3 z3) b x2(y z) y2(zx) z2(x y) cxyzrz是否为多项式o,计算 f(x, y, z),f(x，y，z)的因式的方法如果f(x, y, z)=0 ,那么mx ny rz就是f(x, y, z)的因式,在实际操作时,可首先考 虑mx ny rz的如下特殊情形：x, x y, x y, x y z, x y z三.拆、添项法将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项 式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解 法进行分解因式.例如：4 . 4 .2 . .2 ,2 2 .2 ,2 _、，2x 4 x 4
9、x 4 4x (x 2) 4x (x 2 2x)(x 2 2x)将一个较复杂的代数式中的某一局部看作一个整体，用一个新字母替代它，解后要注意将新字母复原.那么原式y2 2y 3 (y 3)(y 1)2_22y 2y 3 (x 3)(x1)从而简化运算过程， 例如：x4 2x2 3 ,设 x2 ,最后再换回来就当题目中的字母较多、问题较复杂时，我们可以;某一字母作为主元，而将其他字母作为常数去解决 问题.例如：六：因式定理与待定系数1假设 X a 时)f x 0,，那么多项式f x有一次因式x a ；2假设两个多项式相等，那么它们同类项的 系数相等.一.考点：1.双十字相乘法；2.对称式与轮换对
10、称 式；3.拆、添项法；4.换元法；5.主元法；6.因 式定理与待定系数.二.重难点：对称式与轮换对称式；拆、添项法.三.易错点：因式分解过程中计算错误.题模一：双十字相乘法16x2 7xy 3y2 13x 8y 5220x2 9xy 18y2 18x 33y 14【答案】1 2x 3y 5 3x y 1 2 4x 3y 2 5x 6y 7【解析】1先用十字相乘法分解6x2 7xy 3y2,再将常数项5的两个因数写在第二个十字的右边， 由于第 2列与第3列交叉相乘之积的和等于8,再看第1列 与第3列交叉相乘之积的和等于13x,那么原式就可 以分解成 (2x 3y 5)(3x y 1)220x2
11、 9xy 18y2 18x 33y 14 4x 3y 2 5x 6y 7115x2 20xy x 8y 2 29x2 16y2 18x 40y 16【答案】1(3x 4y 1)(5x 2)2(3x 4y 8)(3x 4y 2)【解析】115x2 20xy x 8y 2 = (3x 4y 1)(5x 2)2 9x2 16y2 18x 40y 16 = (3x 4y 8)(3x 4y 2)题模二：轮换对称式法22222y ) yz(y z ) zx：zx2)分解因式 f(x, V, z) xy(x【答案】见解析【解析】x y y z z x是它的因式。又因为f(x，y, z)是4次齐次式，所以g还
12、有一个一次对称式因式x y z于 是, f(x, v, z)可表示为 f(x, v, z) kxyyzzxxyz .令 x 0,y 1, z 2,得 k 1, f(x, v, z) xyyzzxxyz.分解因式 f(x，y，z) x3 y3 z3 3xyz【答案】见解析【解析】f(x, y, z)是3次齐次对称多项式.令x y z33333f(x, y, z) x y x y 3xy x y x 3xy x y yx y z是f(x,y,z)的一个因式.故它的另一个因式比为二次齐次对称式,所以f(x,y, z)可表示为f(x, V，z)B xy yz zxy 0z 1)得 A 1 .再x 0,
13、y z 1,得 B 1 ,所以f (x, y, z) x y z x2y2 z2 xy yz xz .题模三:拆、添项法4 1 4x y4【答案】(x212-y xy)(x1 2 2yxy)1 4 4y1 2 2y2 xy1 2 2yxy212x - y xy2题模四:换元法因式分解：X226x18 x26x802x 6x【解析】那么原式a2 18a80 a 8a 10x2 6x8 x26x1024 x 6x10题模五:主元法2(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2(a2 b2 ab 1)2(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2=(a b)2 2(ab 1)(a b) (1
14、 ab)2=(a2 b2 ab 1)2题模六：因式定理与待定系数法因式分解：x35x2 9x6【答案】x 2 x2 3x 3【解析】以x 1, 2, 3, 6 常数6的约数分别代入原式，假设值为0,那么可找到一次因式，然后用除 法或待定系数法，求另一个因式。解：:x 2时，x3 5x2 9x 6 0)，原式有一次因式x 2).1 x3 5x2 9x 6 x 2 x2 3x 3 .因式分解：6x2 5xy 6y2 2xz 23yz 20z2【答案】(2x 3y 4z)(3x 2y 5z)【解析】6x2 5xy 6y2 2xz 23yz 20z2 (2x 3y 4z)(3x 2y 5z)因式分解：f(x, y, z) (x y)3 y z 3 z x3【答案】见解析【解析】可设f k(x y)(y z)(z x), 可求出k 3分解因式：x8 x4 1【答案】(x2 x 1)(x2 x 1)(x4 x2 1)鬲石木匚18 4 4 8 c 4 4 / / 2 八/ 24 2八1用牛 46 1x x 1 x 2x 1 x4 (x x 1)(x x 1)( x x 1)分解 因式：(x 1)(x
