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1、黄梅一中2013届高三最后一次综合测试数学试题1已知为虚数单位，则复数( )A. B. C. D. 2设全集，集合，则图中的阴影部分表示的集合为A B C D 3已知条件：，条件：，则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件4如果数列，是首项为，公比为的等比数列，则等于（ ）A B C D5执行右边的程序框图,输出的结果是,则处应填入的条件是( )A. B. C. D. 6右图是2012年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ）A B C D 7设 ，且，则等于
2、（ ） A B C D或8已知实数,构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为( ) A B. C D. 9设定义在上的函数，若关于的方程 有3个不同实数解、，且，则下列说法中错误的是（ ）A B C D10已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是( )A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中横线上）11若满足条件，则目标函数的最大值是 12如右图，在直角梯形中，点是梯形内（包括边界）的一个动点，点是边的中点，则 的最大值是_13若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 14已知数列是等比数列，是其前项和若，且与的等差中项为，则
3、 15选做题（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分）（1）（极坐标与参数方程）在直角坐标系中，圆的参数方程为 为参数，以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为当圆上的点到直线的最大距离为时，圆的半径 （2）（不等式）对于任意实数，不等式恒成立时，若实数的最大值为3，则实数的值为 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）16（本小题12分）在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且()求的值; ()若,且,求的值.17（本小题12分）为丰富高三学生的课余生活，提升班级的凝聚力，某校高三
4、年级6个班（含甲、乙）举行唱歌比赛比赛通过随机抽签方式决定出场顺序 求：（1）甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；（2）比赛中甲、乙两班之间的班级数记为，求的分布列和数学期望19（本小题12分）已知函数 (1)证明函数的图像关于点对称;（2）若，求；（3）在（2）的条件下，若 ，为数列的前项和，若对一切都成立，试求实数的取值范围20（本小题13分）已知中心在坐标原点焦点在轴上的椭圆C,其长轴长等于4,离心率为()求椭圆C的标准方程;()若点(0,1), 问是否存在直线与椭圆交于两点,且？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.21（本小题14分）已知函数.（1）若在上的最大值为，求实数的值
5、；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线 上是否存在两点、，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由。数学答案及评分标准一、选择题1D 2B 3A 4A 5A 6C 7A 8B 9C 10C 二、填空题11 12 12 6 13 14 31 15（1） 1 ；（2） 或三、解答题17解：（1）设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件，则 所以 甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为4分（2）随机变量的可能取值为. ， ， ， 10分随机变量的分布列为：01234因此，即随机变量的数学期望为. 12分
6、18（本小题满分12分） 如图所示，在四面体中，两两互相垂直，且（1）求证：平面平面；（2）求二面角的大小；（3）若直线与平面所成的角为，求线段的长度【解析】 （1） ， 平面又平面， 平面平面 4分（2） ， 平面 是二面角的平面角 6分在中， ， 二面角的大小为 8分19（1） 证明：因为函数的定义域为， 设、是函数图像上的两点, 其中且,则有 因此函数图像关于点对称 4分 （2）由（1）知当时， +得 8分（3）当时， 当时， 当时， = （）又对一切都成立，即恒成立恒成立，又设,所以在上递减,所以在处取得最大值，即所以的取值范围是 12分()假设存在这样的直线,设,的中点为 因为所以所以(i)其中若时,则,显然直线符合题意;(ii)下面仅考虑情形:由,得,得 7分则8分代入式得,即,解得11分代入式得,得综上(i)(ii)可知,存在这样的直线,其斜率的取值范围是13分21解：（1）由，得，令，得或列表如下：000极小值极大值，即最大值为，4分（2）由，得，且等号不能同时取，恒成立，即 令，求导得，当时，从而，在上为增函数，8分若时，方程为，化简得，此方程无解； 11分若时，方程为，即，设，则，显然，当时，即在上为增函数，的值域为，即，当时，方程总有解对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上14分 1
