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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第卷3 至4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第I卷注意事项:1答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。 3第I卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。参考公式:如果事件互斥,那么
2、 球的表面积公式 如果事件相互独立,那么 其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是,那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中R表示球的半径一选择题(1)复数(A)i http:/ (B) (C)12-13 (D) 12+13【答案】A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析】.(2)记,那么A. B. - C. D. -【答案】B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】,所以(3)若变量满足约束条件则的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
3、(4)已知各项均为正数的等比数列,=5,=10,则= (A) (B) 7 (C) 6 (D) 【答案】A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识,着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析】由等比数列的性质知,10,所以,所以(5)的展开式中x的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 (6)某校开设A类选修课3门,B类选择课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种 (7)正方体ABCD-中,B与平面AC所成角的余弦值为ABCDA1B1C1D1OA B
4、 C D【答案】D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法,利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.(8)设a=2,b=In2,c=,则A abc Bbca C cab D cba【答案】C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析】 a=2=, b=In2=,而,所以ab,c=,而,所以ca,综上cab. (9)已知、为双曲线C:的左、右焦点,点p在C上,p=,则P到x轴的距离为(A) (B) (C) (D) 【答案】
5、B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理,考查转化的数学思想,通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得,.由余弦定理得cosP=,即cos,解得,所以,故P到x轴的距离为(10)已知函数F(x)=|lgx|,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是(A) (B) (C) (D)(11)已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为俩切点,那么的最小值为 (A) (B) (C) (D)【答案】D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法判别式法,
6、同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.PABO【解析】如图所示:设PA=PB=,APO=,则APB=,PO=,=,令,则,即,由是实数,所以,解得或.故.此时.(12)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A) (B) (C) (D) 【答案】B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD作平面PCD,使AB平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,故.绝密启用前2020年普通高等学校招生
7、全国统一考试理科数学(必修+选修II)第卷注意事项: 1答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2第卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无效。 3。第卷共l0小题,共90分。二填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上 (注意:在试题卷上作答无效) (13)不等式的解集是 .【答案】0,2 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法,利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路,也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致
8、.解析:原不等式等价于解得0x2.(14)已知为第三象限的角,,则 .y=1xyaO(15)直线与曲线有四个交点,则的取值范围是 .【答案】(1,【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.【解析】如图,在同一直角坐标系内画出直线与曲线,观图可知,a的取值必须满足解得.(16)已知是椭圆的一个焦点,是短轴的一个端点,线段的延长线交于点,且,则的离心率为 .【答案】【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识,考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点:“数研究形,形助数”,利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析
9、】如图,,作轴于点D1,则由,得,所以,即,由椭圆的第二定义得又由,得,整理得.两边都除以,得,解得.三解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效) 已知的内角,及其对边,满足,求内角【命题意图】本题主要考查正弦定理及特殊角的三角函数值,以及考查逻辑思维能力、运算能力,同时转化与化归的思想、方程思想【点评】解斜三角形实际属于三角函数的范畴,以三角函数的考查有五种基本题型:考查纯三角函数、考查三角函数与平面向量的交汇、解斜三角形、解斜三角形与向量的交汇、三角变换及求值与解斜三角形的交汇,每年对这方面的考查往往是轮番
10、出现,备考注意这几个方面的强化训练(18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) 投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为05,复审的稿件能通过评审的概率为03各专家独立评审 (I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率; (II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数,求的分布列及期望【答案】解: ()记 A表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审; B表示事件:稿件恰
11、能通过一位初审专家的评审; C表示事件:稿件能通过复审专家的评审; 期望.【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.(19)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB/DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC .()证明:SE=2EB;()求二面角A-DE-C的大小 .故内的两条相交直线都垂直. , ,所以,.() 由知.故为等腰三角形.取中点F,连接,则.连接,则.
12、所以,是二面角的平面角.连接AG,AG=,所以,二面角的大小为120.解法二:由,得 ,故 .令,则. 由平面得.故.() 由()知,取中点F,则,故,由此得. 又,故由此得,向量与的夹角等于二面角的平面角.于是 ,所以,二面角的大小为120.【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. (20)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)已知函数.()若,求的取值范围;()证明: .【答案】(), ,题设等价于.令,则当,;当时,是的最大值点, 综上,的取值范围是.()有()知,即.当时,;当时, 所以【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.(21)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)已知抛物线的焦点为F,过点的直线与相交于、两点,点A关于轴的对称点为D .()证明:点F在直线BD上;()设,求的内切圆M的方程 .所以点在直线上()由知, 因为 , 故 ,解得 所以的方程为 又由知 【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综