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1、课时作业(十五)导数与函数的极值、最值一、选择题1设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点。答案：D2已知f(x)x3ax2(a6)x1既有极大值又有极小值，则a的取值范围为()Aa1或a2B3a6C1a2 Da3或a6解析：由已知得：f(x)3x22axa60在R上有两个不相等的实根，所以(2a)212(a6)0，解得：a3或a6，故选D。答案：D3函数f(x)x33x22在区间1,1上的最
2、大值是()A2B0 C2D4解析：f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或2。f(x)在1,0)上是增函数，f(x)在(0,1上是减函数。f(x)maxf(0)2。答案：C4(2016厦门质检)若函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A(，1) B，1)C2,1) D(2,1)解析：令f(x)3x230，得x1，且x1为函数f(x)的极大值点，x1为函数f(x)的极小值点。函数f(x)在区间(a,6a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a满足a16a2且f(a)a33af(1)2，解得a1，
3、且a2。故实数a的取值范围是2,1)。答案：C5(2016信阳模拟)已知a，b为正实数，函数f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值为4，则f(x)在1,0上的最小值为()A B.C2 D2解析：因为a，b为正实数，函数f(x)ax3bx2x，所以导函数f(x)3ax2b2xln2。因为a，b为正实数，所以当0x1时，3ax20,2xln20，所以f(x)0，即f(x)在0,1上是增函数，所以f(1)最大且为ab24ab2；又当1x0时，3ax20,2xln20，所以f(x)0，即f(x)在1,0上是增函数，所以f(1)最小且为(ab)，将代入得f(1)2，故选A。答案：A6已知函数f(x)x
4、3ax24在x2处取得极值，若m，n1,1，则f(m)f(n)的最小值是()A13 B15C10 D15解析：求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3。由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在1,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4。又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n)minf(1)9。故f(m)f(n)的最小值为13。故选A项。答案：A二、填空题7函数f(x)x(xm)2在x1处取得极小值，则m_。解析：f(1)0可得m1或m3。当m3时，
5、f(x)3(x1)(x3)，1x3，f(x)0；x1或x3，f(x)0，此时x1处取得极大值，不合题意，所以m1。答案：18(2016信阳调研)已知alnx对任意的x恒成立，则a的最大值为_。解析：令f(x)lnx，f(x)，当x时，f(x)0，当x(1,2时，f(x)0，f(x)minf(1)0，a0，故a的最大值为0。答案：09(2016荆州模拟)设直线xt与函数f(x)x2，g(x)lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为_。解析：如图：|MN|f(t)g(t)t2lnt(t0)，令h(t)t2lnt(t0)，则h(t)2t，令h(t)0，得t，令h(t)0，得0t，
6、h(t)在上单调递减，在上单调递增。当t时，h(t)取最小值，即t时，|MN|取最小值。答案：三、解答题10已知函数f(x)ax2blnx在x1处有极值。(1)求a，b的值；(2)判断函数yf(x)的单调性并求出单调区间。解析：(1)f(x)2ax。又f(x)在x1处有极值，即解得a，b1。(2)由(1)可知f(x)x2lnx，其定义域是(0，)，且f(x)x。由f(x)0，得0x0，得x1。所以函数yf(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，)。11设f(x)alnxx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴。(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值。解析
7、：(1)因f(x)alnxx1，故f(x)。由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1。(2)由(1)知f(x)lnxx1(x0)，f(x)。令f(x)0，解得x11，x2当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数。故f(x)在x1处取得极小值f(1)3。12已知函数f(x)(2a)lnx2ax(aR)。(1)当a0时，求f(x)的极值；(2)求f(x)的单调区间。解析：(1)当a0时，f(x)2lnx，f(x)(x0)，f(x)在上是减函数，在上是增函数。f(x)的极小值为f22ln2，无极大值。(2)f(x)2a(x0)。当a0时，f(x)在上是减函数，在上是增函数；当2a0时，f(x)在和上是减函数，在上是增函数；当a2时，f(x)在(0，)上是减函数；当a2时，f(x)在和上是减函数，在上是增函数。
