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1、北航1秋学期线性代数模拟题一本复习题页码标注所用教材为:工程数学（线性代数)魏战线10月第2版辽宁大学出版社如学员使用其她版本教材，请参照有关知识点一、 单选题（本大题共5小题，每题分，共15分）1、 设A为阶可逆方阵,则 ( )A. B C D. 参照答案：B、已知的一次多项式，则式中一次项的系数为（ )（A） （) （） （D)参照答案：B3、设为矩阵,则元齐次线性方程组存在非零解的充足必要条件是（ )A.的行向量组线性无关 B的行向量组线性有关C的列向量组线性无关 .的列向量组线性有关参照答案:C4、设列向量组，则与三阶行列式等值的行列式是( )(A) () (C) (D)参照答案：C5
2、、 设为阶矩阵，将的第2行加到第1行得,再将的第1列的-1倍加到第2列得,记,则（ ）A B. C D 参照答案：B二、 判断题(本大题共5小题，每题2分，共10分）6、A对 B.错参照答案:A7、 两个对称矩阵一定合同。( ）对 B.错参照答案：8、A.对 B.错参照答案:A9、 相似矩阵有相似的特性多项式。( )A.对 B.错参照答案：1、A.对 B错参照答案:B三、填空题(本大题共10小题，每题3分,共0分)11、设四阶行列式,是其元的代数余子式,则,。考核知识点：行列式的概念及计算 ，参见 35参照答案:6, -482、 设实二次型的秩为4，正惯性指数为3,则其规范形为 。 考核知识点
3、：惯性定理与二次型的规范形 ,参见20参照答案: 1、线性方程组有非零解的充要条件是满足 考核知识点:齐次方程组解的构造 ,参见 P28参照答案:4、 若矩阵正定,则的取值范畴是 。 考核知识点:正定二次型与正定矩阵 ，参见 P205参照答案:5、设矩阵与相似,则， . 考核知识点:相似矩阵 ，参见 P159参照答案:19, 280 1、设二次型的正惯性指数为,负惯性指数为,则等于 。 考核知识点：惯性定理与二次型的规范形 ，参见 204参照答案：0 1、将二次型化为的可逆线性变换为考核知识点：化二次型为原则型 ,参见 194参照答案:、 设向量、的长度依次为和3，则向量与的内积= 。 考核知
4、识点： 向量及其运算 ,参见 P9参照答案：-1、已知阶矩阵的特性值为,则的特性值为，的特性值为考核知识点:矩阵的特性值 ，参见 1参照答案：，5，-11; 3，7,13 20、二次型的规范型为 。 考核知识点：二次型的规范形 ，参见 P参照答案：得分评卷人四、计算题（本大题共小题，每题分，共35分)1、计算行列式考核知识点：行列式的定义及计算 ,参见P34参照答案:解:22、 设3阶方阵的三个特性值为,A的属于的特性向量依次为,，求方阵A。考核知识点： 矩阵的特性值与特性向量 ，参见 P14参照答案:23、设矩阵与相似，求,并求一种正交矩阵，使得.考核知识点: 相似矩阵的概念及运算 ,参见
5、P159参照答案:解：由与相似知，即;又也是的特性值，故,即,计算得,从而当时,解方程有,从而有解，单位化得；当时,解方程有,从而有两个正交解，单位化得;因此所求得正交矩阵.、已知非齐次线性方程组（1） 求方程组系数矩阵A的秩。（2） 求的值。考核知识点：非齐次方程组解的构造 ,参见P137 参照答案:25、 考核知识点: 齐次方程组解的构造 ，参见P128参照答案:五、证明题（本大题共1小题,每题10分，共10分）26、设为阶矩阵, 证明:.考核知识点: 矩阵及行列式的运算，参见 P13，P3参照答案：证明:当可逆时,;当时,有,从而;当且不可逆时，有 否则，必可逆，从而由知必有,与矛盾； 综上所述知结论成立。
