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1、“命题的否定和量词的运用”疑析314000 嘉兴市秀州中学数学教研组 章亚林在高中新教材中添加了“简易逻辑”板块，对培养学生的逻辑思维能力起到了一定的 作用但由于在对命题进行否定时，忽略了其中的“量词”，产生了某些认识上的偏差下 面将针对“命题的否定”作简要的分析一、 命题的否定设 p 是一个命题，“ p 不成立”即为对命题 p 的否定（非 p ）1三种命题形式及其否定表示数量的词称为量词表示整体的全部的叫做全称量词，常用的如“所有”、“一切”、 “每一个”和“任意一个”等；表示整体的一部分的叫做存在量词，常用的如“有些、”“至 少有一个”和“存在”等根据描述主项的量词，命题可分为：全称命题，
2、其形式为“所有S是（不是）P ”，其否定为“存在S不是（是）P ”，即 “至少有一个S不是（是）P ”，全称量词常可省略；特称命题，其形式为“有些（存在）s是（不是）P ”，其否定为“所有的S不是（是） P ”，即“不存在S是（不是）P ”；特别地，主项为特定的单个个体的命题，称为单称命题，其形式为“ s 是（不是） P ” ， 0其否定为“ s 不是（是） P ”0例 1 写出下列命题的否定1)张三是人；2)方程x2 + x 1 = 0两根符号不同；3)有些人早饭吃面包；4)存在一个实数x，使得x2 + x +1 5 ；5)哺乳动物是胎生的；6)末位数字是0 或5的整数，能被5整除.分析1:
3、命题、是单称命题，故其否定分别为“张三不是人”和“方程X2 + x-1二0 两根符号相同”；命题、为特称命题，故其否定分别为“所有人早饭都不吃面包”和“对 于任意的实数x，x2 + x +1 0”；、为全称命题，故其否定分别为“有些哺乳动物不 是胎生的”和“有些末位数字是0 或5的整数，不能被5整除”结论1:否定一个命题，应注意命题中的“量词”，在理解命题意义的前提下，判断是 何种类型的命题，再加以否定.例 2 写出下列命题的否定（1）三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和；（2）存在一个矩形，它的四边相等分析2 :首先，很显然、分别是全称命题和特称命题；其次，特别还应分别注意到 “三角形的外
4、角”和“矩形的边”都具有任意性故正确答案为:（1）存在一个三角形，它有一个外角不等于与它不相邻的两内角之和；（2）任意一个矩形，它的四条边不全相等结论 2:还要注意有的命题含有多个“量词”2命题“若则”的否定是什么“若p则q ”的否定是“ p且非q ”；“对于任意的x，若p （x）则q（x） ”（“对于任意的x ”常省略）的否定是“存在x，p （x） 且非q（x） ”，即只要能否定符合条件的一种情况即可，而不是对符合条件的所有情况加以否 定，亦即“对于任意的x，若p（x）则q（x） ”的否定应该是“存在使p（x）成立而q（x）不成 立的情况”例 3 写出下列命题的否定（ 1）若明天下雨，则我不
5、去杭州；（2）若方程x2 +1 = 0有实根，则太阳绕着地球转；（3）若方程x2 + ax + 2 = 0有实根，贝Ia2 8 0 .（4）若m是奇数，则2m是偶数.分析3 :命题（1）、（2）是“若p则q ”形式的命题，故其否定分别为“明天下雨且我 去杭州”和“方程x2 +1 = 0有实根且太阳不绕着地球转”；命题（3）、（4）省略了全称量 词，补完整后分别为“对于任意的实数。，若方程x2 + ax + 2 = 0有实根，则a2 8二0 ”和“对于任意的实数m ,若m是奇数，则2m是偶数”，都是“对于任意的x,若p（x）则q（x） ” 形式的命题，故其否定分别为“存在实数a,使得x2 + a
6、x + 2二0有实根且a2 -8 O中，弦AB、CD交于P , 且 AB、 CD 不是直径求证：弦 AB、CD 不被 P 平分分析：假设弦AB、CD被P平分，连结OP后，可推 出AB、CD都与OP垂直，则出现矛盾.证明：假设弦 AB、CD 被 P 平分，由于 P 点一定不是 圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有OP 丄 AB ，OP 丄 CD，即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾.所以，弦 AB、 CD 不被 P 平分.分析5 :首先，“求证”中的“弦AB、CD不被P平分”与“弦AB、CD不互相平分” 是两回事，“求证”中的“弦AB、CD不被P平分”应改为“弦AB、CD中至少有
7、一条不 被P平分”其次，“弦AB、CD不被P平分”的否定不是“弦AB、CD被P平分”而是 “弦AB、CD至少有一条被P平分”3. （1 P26练习1和P29习题1 （部分小题）分别写出由下列各组命题构成的“非p” 形式的复合命题：（1）p ：矩形的对角线相等；（2）p ：正方形的四条边相等；（3）p ：三角形的两条边的和大于第三边。（2 P18） 以上各小题相应的参考答案（1）非 p ：矩形的对角线不相等；（2）非 p ：正方形的四条边不相等；(3) 非 p ：三角形两边之和不大于第三边。分析6 :以上、中的命题p都是省略了全称量词的全称命题，又注意到命题 “内部”的“量词”，故正确答案如下：
8、(1) 非 p ：存在矩形，它的对角线不相等；(2) 非 p ：存在正方形，它的四条边不全相等；(3) 非 p ：存在三角形，它有两条边其和不大于第三边。 43中有以下一段叙述:“对命题p怎样否定呢？应保留其条件，否定其结论，即如果命题是若A则B ,那 么-p是若A则非B分析7 :由“一.2 ”可知，“若A则B”的否定应该是“ A且非B ”，且其可能忽略了“对 于任意的x,若p (x)则q(x) ”这种命题形式的存在.5. (4P30例2 )写出下列命题的否定：(1)若m2 + n2 + a2 + b2 = 0，则实数m、n、a、b 全为零；(4)若x2 x 2丰0，则x工一1且x丰2.参考答
9、案：(1 ) 若m2 + n2 + a2 + b2 = 0 ，贝U实数m、n、a、b 不全为零；或若 m2 + n2 + a2 + b2 = 0，则实数m、n、a、b中至少有一个不为零；(4) 若 x2 x 2 丰 0，则 x = 1 或 x = 2.分析8 :命题(1)、(4)都省略了全称量词，结合“一.2”可知，正确答案如下：(1) 存在不全为零的实数m、n、a、b，使得m2 + n2 + a2 + b2二0 ;(4)存在x使得x2 x 2丰0成立且，x = 1或x = 26. (5 P62例题)写出下列各命题的否定形式及命题的否命题：( 2)有些质数是奇数；( 3)所有的方程都不是不等式
10、；( 4)自然数的平方是正数参考答案：( 2)否定形式：有些质数不是奇数；否命题：所有的质数不是奇数( 3)否定形式：所有的方程都是不等式；否命题：有些方程是不等式( 4)否定形式：自然数的平方不都是正数；否命题：有些自然数的平方不是正数 分析9:分析以上参考答案可知，对“命题的否定”的认识偏差以及没有正确区分命题 的条件和结论，是本题错解的两大根源.写原命题的逆命题、否命题和逆否命题时，可先将 原命题改写成“若则”的形式(此处略)，以便于正确区分命题的条件和结论. 是特称命题，、是全称命题.故正确答案为：(2) 否定形式:所有的质数都不是奇数；否命题:(不宜出此题型).(3) 否定形式:有些
11、方程是不等式；否命题:所有的式子，若不是方程，则就是不等式.(4) 否定形式:有些自然数的平方不是正数，或自然数的平方不都是正数；否命题:非自 然数的平方不是正数.参考资料1 中学数学室.全日制普通高级中学教科书(必修)数学(第一册上).人民教育出版社， 2003 年 6 月.2 中学数学室.全日制普通高级中学教师教学用书(必修) 数学(第一册上) .人民教育 出版社， 2003 年 6 月.3谷林海、张月柱.名师视点（高中数学）.东北师范大学出版社，2002 年.4 陈兆镇.新教案（一本为学生而写的书 高一数学）.广西师范大学出版社、内蒙古大学出 版社，2001 年 7 月.5 侯祯涛、庄杰.教与学示范（雨蝶8 号 高一数学上册）.北京师范大学出版社，2002年.附：“命题的否定和量词的应用”一文（毕业论文）已于 2003 年9 月发表于华东师范大学出版社出版的数学教学（第 9 期） 中，本文在原文基础上，又有所补充，有所改进。
